আজ আমরা মাধ্যমিক প্রকাশ গণিতের তৃতীয় অধ্যায় বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৩.১ এবং ৩.২ এর সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর এখানে আলোচনা করবো।। মাধ্যমিক গণিত ব্ইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।
Britto Somporkito Upopaddo Koshe Dekhi 3.1 & 3.2 Class 10|বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৩.১ এবং কষে দেখি ৩.২
1. পাশে O কেন্দ্রিয় বৃত্তের ছবি দেখি এবং কোন কোন ব্যাসার্ধ PAQ বৃত্তাংশে অবস্থিত লিখি ।
উত্তরঃ
ও কেন্দ্রীয় বৃত্তের PAQ বৃত্তাংশে অবস্থিত ব্যাসার্ধ গুলি হলো OP, OA, OC, OQ ।
2. নীচের _____ এ বুঝে লিখি ।
(i) একটি বৃত্তে ____________ বিন্দু আছে ।
উত্তরঃ অসংখ্য
(ii) বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা _________ ।
উত্তরঃ ব্যাস
(iii) জ্যা বৃত্তাকার ক্ষেত্র কে দুটি _________ এ বিভক্ত করে ।
উত্তরঃ বৃত্তাংশে
(iv) বৃত্তের সকল ব্যাস ____________ বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ কেন্দ্রগামী
(v) দুটি বৃত্তাংশ সমান হলে তাদের বৃত্তচাপ দুটির দৈর্ঘ্য _________ হবে ।
উত্তরঃ দুটি বৃত্তাংশ সমান হলে তাদের বৃত্তচাপ দুটির দৈর্ঘ্য সমান হবে
(vi) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের বৃত্তকলা হলো বৃত্তচাপ এবং দুটি _________ এর দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চল ।
উত্তরঃ একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের বৃত্তকলা হলো বৃত্তচাপ এবং দুটি ব্যাসার্ধের দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চল ।
(vii) বৃত্তের বাইরে কোনও বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা _________ ।
উত্তরঃ বৃত্তের বাইরে কোনও বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বড় ।
3. স্কেল ও পেনসিল এর সাহায্যে একটি বৃত্ত এঁকে কেন্দ্র , জ্যা , ব্যাস , ব্যাসার্ধ , উপচাপ ,অধিচাপ , নির্দেশ করি ।
উত্তরঃ
কেন্দ্র – O
জ্যা – XY
ব্যাস- AB
ব্যাসার্ধ- OP
উপচাপ- MN
অধিচাপ- AMNP
4. সত্য না মিথ্যা লিখি ঃ
(i) বৃত্ত একটি সামতলিক চিত্র ।
উত্তরঃ সত্য ।
(ii) বৃত্তাংশ (segment) একটি সামতলিক চিত্র ।
উত্তরঃ সত্য ।
(iii) বৃত্তকলা একটি সামতলিক চিত্র ।
উত্তরঃ সত্য ।
(iv) জ্যা একটি সরলরেখা ।
উত্তরঃ সত্য ।
(v) চাপ একটি সরলরেখা ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
(vi) একটি বৃত্তের সসীম সংখ্যক একই দৈর্ঘ্যের জ্যা আছে ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
(vii) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটিই বৃত্ত আঁকা সম্ভব ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
(viii) দুটি সর্বসম বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ।
উত্তরঃ সত্য ।
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
কষে দেখি-3.2
Madhyamik Math koshe dekhi 3.1 And 3.2
1. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি । O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
∴ D , AB মধ্যবিন্দু ।
∴ BD = AB/2= 8/2 = 4 সেমি
OB= বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি ।
সমকোণী ত্রিভুজ ∆ OBD থেকে পাই ,
∴ o থেকে AB বিন্দুর দূরত্ব = 3 সেমি ।
2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি । O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি । PQ জ্যা এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি ।
∴ OR = 5 সেমি ।
এক্ষেত্রে OR , PQ এর ওপর লম্ব
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OQ = 26/2 = 13 সেমি ।
∴ সমকোণী ত্রিভুজ ∆ ORQ এর ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
আবার, যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।তাই R , PQ এর মধ্যবিন্দু ।
∴ PQ = 12×2 =24সেমি ।
∴ PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 24 সেমি ।
3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ এর দূরত্ব 2.1 সেমি. । বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে রাখি ।
সমাধানঃ
জ্যা PQ এর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি ।
কেন্দ্র থেকে PQ জ্যা OR এর দৈর্ঘ্য = 2.1 সেমি ।
OQ যুক্ত করা হল , OQ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।তাই R , PQ এর মধ্যবিন্দু ।
∴ RQ = 4/2 সেমি = 2 সেমি ।
সমকোণী ত্রিভুজ ∆ ORQ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
∴বৃত্তের ব্যাস = 2.9×2=5.8 সেমি ।
4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি ও 8 সেমি দৈর্ঘ্য এর দুটি জ্যা । যদি ছোটো দৈর্ঘ্য এর জ্যা টির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি হয় , তাহলে অপর জ্যা টির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা । AB= 6 সেমি এবং CD = 8 সেমি । কেন্দ্র O থেকে AB এর দূরত্ব = OP = 4 সেমি । ∴ OP ⊥ AB
কেন্দ্র O থেকে CD এর দূরত্ব OQ ∴ OQ ⊥ CD
O,A এবং O,C যুক্ত করা হল ।
এখন OA = OC = বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে । তাই P , AB এর মধ্যবিন্দু এবং Q , CD এর মধ্যবিন্দু ।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ∆ OAP থেকে পাই ,
OA2=OP2+PA2
বা, OA2 = (4)2 + (6/2)2
বা, OA2 = 16+9
বা, OA = √25
বা, OA= 5
∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি ।
আবার সমকোণী ত্রিভুজ ∆OCQ থেকে পাই ,
OQ2+QC2=OC2
বা, OQ2+(8/2)2=(5)2 [ যেহেতু OC=OA=5 সেমি ]
বা, OQ2 +16 =25
বা, OQ2 = 25-16
বা, OQ2= 9
বা, OQ = √9
বা, OQ = 3
∴ কেন্দ্র থেকে অপর জ্যাটির দূরত্ব 3 সেমি ।
5. যদি কোন বৃত্তের একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা এর দূরত্ব 7 সেমি হয় , তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা এর দূরত্ব 20 সেমি , সেই জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OM=7 সেমি ।
∴ OM ⊥ PQ
ধরি, RS জ্যা এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব ON = 20 সেমি ।
∴ ON ⊥ RS
O,Q এবং O,S যুক্ত করা হল ।
OQ =OS = বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে । তাই , M , PQ এর মধ্য বিন্দু । আবার N , RS এর মধ্যবিন্দু ।
সমকোণী ত্রিভুজ ∆OMQ থেকে পাই,
OQ2= OM2+MQ2
বা, OQ2 = (7)2+(48/2)2
বা, OQ2= 49+(24)2
বা, OQ2 = 49+576
বা, OQ2 = 625
বা, OQ = √625
বা, OQ = 25
সমকোণী ত্রিভুজ ∆ONS থেকে পাই ,
ON2+NS2 = OS2
বা, NS2 = OS2-ON2
বা, NS2 = (25)2-(20)2
বা, NS2= 625-400
বা, NS2 = 225
বা, NS = √225
বা, NS = 15
যেহেতু N , RS এর মধ্যবিন্দু
∴ RS = 2NS
বা, RS = 2×15
বা, RS = 30
∴ RS জ্যা এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি ।
6. পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP ⊥ AB; AB = 6 সেমি এবং PC = 2 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
OP ⊥ AB
O,B যুক্ত করা হল
ধরি ব্যাসার্ধ x সেমি ।
∴ OB=OC=x সেমি
∴ OP = OC-PC = (x-2)সেমি
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে । তাই P , AB এর মধ্যবিন্দু ।
সুতরাং PB = 6/2 =3 সেমি ।
সমকোণী ত্রিভুজ ∆OPB থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
OB2=OP2+PB2
বা, x2 = (x-2)2+(3)2
বা, x2 = x2-4x+4+9
বা, 4x=13
বা, x = 13/4
বা, x= 3.25
∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3.25 সেমি ।
7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে । যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC=DB ।
সমাধানঃ
চিত্রে O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে একটি সরলরেখা যথাক্রমে A,B এবং C,D বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমান করতে হবে যে AB = CD
অঙ্কনঃ O থেকে AB এর ওপর একটি লম্ব OP অঙ্কন করা হল ।
প্রমানঃ যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে । তাই P ,AB এবং CD উভয়ের মধ্যবিন্দু ।
∴ AP=PB এবং CP=PD
সুতরাং AP-CP= PB-PD
∴ AC=DB (প্রমাণিত)
8. প্রমাণ করি , কোন বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদী জ্যা পরস্পর কে সমদ্বিখন্ডিত করতে পারে না , যদি না উভয়েরই বৃত্তের ব্যাস হয় ।
সমাধানঃ
ধরি ,O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি পরস্পর ছেদী জ্যা এবং তারা পস্পরকে P বিন্দুতে
ছেদ করেছে । ধরা হল P , AB এর মধ্যবিন্দু ।
প্রমান করতে হবে P , CD এর মধ্যবিন্দু নয় ।
অঙ্কনঃ O , P যুক্ত করা হল ।
প্রমানঃ যেহেতু P , AB এর মধ্যবিন্দু এবং OP কেন্দ্রগামী সরলরেখা ।
∴ OP ⊥ AB
আবার AB এবং CD সরলরেখা পস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে ,
∴ OP, একইসাথে AB এবং CD উভয় এর ওপর লম্ব হতে পারে না ।
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র গামী কোনও সরলরেখাংশ কোনও জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করলে ওই সরলরেখাংশ ওই জ্যা এর ওপর লম্ব হবে ।
এক্ষেত্রে P , CD এর মধ্যবিন্দু হতে পারেনা ।
কিন্তু যদি AB ও CD পরস্পর ব্যাস হত তবে তারা পরস্পর কে সমদ্বিখণ্ডিত করত ।
9. X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পর কে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । XY এর মধ্যবিন্দু S এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করলো । প্রমান করি PA = AQ ।
সমাধানঃ
ধরি, X ও Y কেন্দ্রীয় বৃত্ত পস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । XY এর মধ্যবিন্দু S । S এবং A যুক্ত করা হল । A বিন্দু দিয়ে S এর ওপর অঙ্কিত লম্ব বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করতে হবে যে , PA = AQ ।
অঙ্কনঃ X ও Y বিন্দু দিয়ে PQ এর ওপর যথাক্রমে XM এবং YN লম্ব অঙ্কন করা হল ।
প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে XM , SA , YN তিনটি সরলরেখা প্রত্যেকে PQ এর ওপর লম্ব । সুতরাং XM ∥ SA ∥ YN
যেহেতু X ও Y যথাক্রমে বৃত্ত দুটির কেন্দ্র এবং XM , YN প্রত্যেকে PQ এর ওপর লম্ব সুতরাং M ও N যথাক্রমে PA ও AQ এর মধ্যবিন্দু ।
∴ MA = ½ PA
এবং AN = ½ AQ
আবার যেহেতু S , XY এর মধ্যবিন্দু ,
সুতরাং XS = SY
এখন XM , SA ,YN সমান্তরাল সরলরেখা তিনটি XY থেকে সমান দুটি অংশ ছিন্ন করে ,
∴ তা ওপর সরলরেখা PQ থেকেও সমান দুটি অংশ ছিন্ন করবে ।
অর্থাৎ , MA = AN
বা , ½ PA = ½ AQ [ যেহেতু MA = ½ PA এবং AN = ½ AQ ]
বা, PA = AQ ( প্রমাণিত )
10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেন্টিমিটার ও 24 সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB ও CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত । যদি AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি ।
সমাধানঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD ।
AB = 10সেমি , CD = 24 সেমি কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত ।
কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর ওপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব ।
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ P এবং Q যথাক্রমে AB ও CD এর মধ্যবিন্দু ।
সুতরাং PB= 10/2=5 সেমি
এবং QD = 24/2 = 12 সেমি
যেহেতু AB ∥ CD সেহেতু O , PQ এর ওপর অবস্থিত একটি বিন্দু ।
AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব = PQ = 17 সেমি
O,D এবং O , B যুক্ত করা হল ।
∴ OD=OB =বৃত্তের ব্যাসার্ধ
ধরি, OP = x সেমি
∴ OQ = (17-x) সেমি ।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ∆ OPB থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
OB2=OP2+PB2
বা, OB2 = x2 + (5)2 —— (i)
আবার সমকোণী ত্রিভুজ ∆ OQD থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
OD2 = OQ2 +QD2
বা, OD2 = (17-x)2 + (12)2 ——-(ii)
যেহেতু, OB =OD
(i) ও (ii) থেকে পাই ,
∴ x2+ (5)2 = (17-x)2 +(12)2
বা , x2+25= (17-x)2 +144
বা, x2+25 = 289-34x+x2+144
বা, 34x = 144+289-25
বা, 34x = 408
বা, x = 408/34
বা, x = 12
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই ,
OB2 = x2 + (5)2
বা, OB2 = (12)2+25 [ ∵ x =12 ]
বা, OB2 = 144+25
বা, OB2 = 169
বা, OB = √169
বা, OB = 13
সুতরাং বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি ।
11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q ; বৃত্ত দুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করে । A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমান করি CD = 2PQ ।
সমাধানঃ
ধরি P ও Q কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পর কে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দু দিয়ে PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা P ও Q কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমান করতে হবে যে CD =2PQ
অঙ্কনঃ P ও Q বিন্দু দিয়ে CD এর ওপর যথাক্রমে PR ও QS লম্ব টানা হল ।
প্রমান ঃ যেহেতু PQ || RS এবং PR ⊥ CD ও QS ⊥ CD ,
∴ PRSQ একটি আয়তক্ষেত্র ।
∴ PQ = RS —— (i)
যেহেতু PR ⊥ CA এবং QS ⊥ AD
∴ R , CA এর মধ্যবিন্দু এবং S , AD এর মধ্যবিন্দু ।
অর্থাৎ , AR = ½ AC এবং AS = ½ AD
এখন, RS = AR+AS = 1/2( AC +CD) = ½ CD
∴ RS = ½ CD
⇒ 2RS = CD
⇒ 2PQ = CD [ (i) নং থেকে পাই ]
∴ CD = 2PQ [প্রমাণিত]
12. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি সমান । প্রমান করি যে ∠ BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী ।
সমাধানঃ
ধরি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা । B ও C যুক্ত করা হল , যা ∠ BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কে P বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমানঃ ∆ABP এবং ∆ ACP এর মধ্যে,
AB =AC ( প্রদত্ত )
∠BAP = ∠ CAP [ যেহেতু AP , ∠ BAC এর সমদ্বিখণ্ডক ]
এবং AP সাধারণ বাহু
∴ বাহু- কোন – বাহু শর্তানুসারে , ∆ ABP ≅ ∆ ACP
∴ BP =CP [অনুরুপ বাহু ]
এবং ∠BPA = ∠CPA
আবার ∠ BPC = 180º
∴ ∠ BPA =∠ CPA =90º
সুতরাং AP ⊥ BC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC জ্যা এবং P , BC এর মধ্যবিন্দু এবং AP⊥ BC
∴ AP কেন্দ্রগামী ( প্রমাণিত )
13. একটি বৃত্তের পরস্পর ছেদী জ্যা – এর অন্তর্ভুক্ত কোনের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয় , তাহলে প্রমান করি যে জ্যা দুটি সমান ।
সমাধানঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি জ্যা পরস্পর কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে । OP , কোন APC এর সমদ্বিখণ্ডক হলে প্রমান করতে হবে যে , AB=CD
অঙ্কনঃ OE ⊥ AB এবং OF ⊥ CD অঙ্কন করা হল ।
প্রমানঃ ∆POE এবং ∆ POF এর মধ্যে
∠ OEP= ∠ OFP ( প্রত্যেকে সমকোণ )
∠ EPO = ∠ FPO ( ∵ OP, ∠ BPC এর সমদ্বিখণ্ডক )
OP সাধারণ বাহু
∴ ∆ POE ≅ ∆ POF
∴ OE=OF
অর্থাৎ জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সুতরাং জ্যা দ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান ।
∴ AB =CD ( প্রমাণিত )
14. প্রমান করি যে একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা- টির দৈর্ঘ্য ওপেক্ষা বৃহত্তর ।
সমাধানঃ
মনে করি , বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB ও CD ওই বৃত্তের দুটি জ্যা । OP এবং OQ যথাক্রমে AB ও CD এর ওপর লম্ব । এক্ষেত্রে OP প্রমান করতে হবে , AB > CD অঙ্কনঃ OA এবং OC যুক্ত করা হল । প্রমানঃ এখানে OP ⊥ AB এবং OQ ⊥ CD যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে , ∴ AP = AB/2 এবং CQ = CD /2 আবার , ∆AOP এবং ∆COQ উভয়ই সমকোণী । পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই , ∴ OA2= AP2+PO2 এবং OC2 = OQ2+CQ2 যেহেতু OA = OC সুতরাং , AP2+PO2 = OQ2+CQ2 ——- (i) এখন OP < OQ ∴ OP2 < OQ2 তাই (i) থেকে বলা যায় , AP2 > CQ2 ∴ AP > CQ ∴ (AB/2) >(CB/2) ∴ AB > CD অর্থাৎ AB জ্যা এর দৈর্ঘ্য CD জ্যা এর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর (প্রমাণিত) । 15. একটি বৃত্তের ভিতর যেকোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি । সমাধানঃ ধরি , O কেন্দ্রীয় বৃত্তের মধ্যস্থ P যেকোনো একটি বিন্দু । P বিন্দু দিয়ে AB একটি জ্যা , যখন P , AB এর মধ্যবিন্দু এবং P বিন্দু দিয়ে অপর একটি জ্যা CD অঙ্কনঃ CD এর ওপর OQ লম্ব অঙ্কন করা হলো । প্রমানঃ সমকোণী ত্রিভুজ ∆ OPQ এর এর OP অতিভুজ । ∴ OP > OQ যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরবর্তী জ্যা ক্ষুদ্রতম হয় , ∴ AB < CD ∴ কোনও বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত যে জ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে , যখন ঐ বিন্দু জ্যাটির মধ্যবিন্দু হবে (প্রমাণিত ) 16. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন ( V.S.A ) (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন ( M.C.Q ) : (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান । ∠AOB = 60 হলে, ∠COD এর মান (a) 40 (b) 30 (c) 60 (d) 90 উত্তরঃ ( c ) 60 যেহেতু সমান সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে । (ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং বৃত্তের একটি জ্যা- এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি । বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা- এর দূরত্ব (a) 12.5 সেমি (b) 12 সেমি (c) √69 সেমি (d) 24 সেমি উত্তরঃ ( b ) 12 সেমি. সমাধানঃ OP ⊥ AB ∴ P , AB এর মধ্যবিন্দু । সমকোণী ত্রভুজ OBC থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই , OB2 = OP2+PB2 বা, 132 = OP2+(10/2)2 বা, OP2 = 169-25 বা, OP2 = 144 বা , OP = √144 বা, OP = 12 (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা । O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব 4 সেমি হলে, CD জ্যা – এর দূরত্ব (a) 2 সেমি (b) 4 সেমি (c) 6 সেমি (d) 8 সেমি উত্তরঃ (b ) 4 সেমি. সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী । ∴ কেন্দ্র থেকে CD জ্যা- এর দূরত্ব হবে 4 সেমি. (iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা –এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি । বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে , জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব (a) 12 সেমি (b) 16 সেমি (c) 20 সেমি (d) 5 সেমি । উত্তরঃ। (a) 12 সেমি. সমাধানঃ AB =CD = 16 সেমি ∴ PB = 16/2 = 8 সেমি. যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও সরলরেখা ঐ বৃত্তের কোনও জ্যা-এর লম্ব হলে , সরলরেখাটি জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে । ব্যাসার্ধ = OB=OD =10 সেমি. সমকোণী ত্রিভুজ POB থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই , OB2 = OP2+PB2 বা, (10)2 = OP2 + (16/2)2 বা, (10)2 = OP2 +(8)2 বা, 100= OP2 +64 বা, OP2 = 100-64 বা, OP2 = 36 বা, OP = 6 ∴ OQ = 6 সেমি. [যেহেতু,সমান দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয় ] ∴ PQ =OP+OQ=12 সেমি. (v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O ; একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে । AC = 5 সেমি হলে BD এর দৈর্ঘ্য (a) 2.5 সেমি (b) 5 সেমি (c) 10 সেমি (d)কোনোটিই নয় । উত্তরঃ (b ) 5 সেমি. সমাধানঃ যেহেতু OP ⊥ AB ∴ PC =PD এবং PA = PB যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনও সরলরেখা ঐ বৃত্তের কোনও জ্যা-এর লম্ব হলে , সরলরেখাটি জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে । ∴ PA-PC = PB-PD বা, AC = BD ∴ AC =BD = 5 সেমি. (B) সত্য / মিথ্যা লিখি: (i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায় । উত্তরঃ মিথ্যা তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে কোনও বৃত্ত অঙ্কন করা যায় না । (ii) ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত । উত্তরঃ সত্য যেহেতু দুটি বৃত্তের তিনটি বিন্দু সমান সুতরাং বৃত্ত দুটি একই । (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটির OA ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, ∠ OAB = ∠ OAC উত্তরঃ মিথ্যা যদি AB =AC হয় তবে বিবৃতি টি সত্য হবে । (C ) শূন্যস্থান পূরণ করি : (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, ∠ POQ = ∠ ROS = __________________ উত্তরঃ 1:1 (ii) বৃত্তের কোন জ্যা –এর লম্বসমদ্বিখন্ডক ওই বৃত্তের ___________ । উত্তরঃ কেন্দ্রগামী 17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A) : (i) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারন জ্যা -এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি । বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি । সমাধানঃ A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ সাধারণ জ্যা । A ও B যুক্ত করলে , AB ⊥ PQ হয় । সমকোণী △AOP এর , AP2= OP2+AO2 বা, (10)2 = (12/2)2+(AO)2 বা, 100 = (6)2 +AO2 বা, 100 = 36 + AO2 বা, AO2= 100-36 বা, AO2 = 64 বা, AO2 = (8)2 বা, AO = 8 যেহেতু বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ সমান সেহেতু OA =OB = 8 সেমি. । ∴ AB = 8+8 = 16 সেমি. ∴ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = 16 সেমি. । ( উত্তর ) (ii) 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা । বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত । AB=AC = 6 সেমি হলে , BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি । সমাধানঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তে , AB = AC =6 সেমি. যেহেতু সমান দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট জ্যা-এর মধ্যবর্তী কোনের সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী হয় , ∴ OA = বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি এবং P , BC এর মধ্যবিন্দু ও OP ⊥ BC O ,B যোগ করা হল । ধরি , OP = x সেমি সমকোণী ∆ APB থেকে পাই , AP2 +BP2=AB2 বা, BP2 = AB2-AP2 বা , BP2 = (6)2 – AP2 ——-(i) সমকোণী ∆OPB থেকে পাই , OP2+BP2 = OB2 বা, BP2= OB2-OP2 বা, BP2 = (5)2 – OP2 —— (ii) (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই , (6)2– AP2 = (5)2– OP2 বা, 36 – AP2 = 25- OP2 বা, 36-25 = AP2 – OP2 বা, AP2 – OP2 = 11 বা, (OA-OP)2 – OP2 = 11 বা, (5-OP)2 – OP2 =11 বা, 25 -10OP +OP2-OP2=11 বা, 10OP = 14 বা , OP = 14/10 বা, OP = 7/5 (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই , BP2 = 25- (7/5)2 বা, BP2 = 25- (49/25) বা, BP2 = (625-49)/25 বা , BP2 = 576/25 বা, BP = 24/5 [ উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই ] ∴ CD = 2BP = 2×(24/5) = 48/5 = 9.6 সেমি. ।( উত্তর ) (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান । ∠ AOB = 60º এবং CD=6 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি । সমাধানঃ OAB এর OA =OB = বৃত্তের ব্যাসার্ধ ∴ ∠OAB = ∠ OBA এবং ∠ AOB = 60º ( প্রদত্ত ) ∠OAB=∠OBA=60º অর্থাৎ OAB সমবাহু ত্রিভুজ । যার , OA =OB =AB= 6 সেমি. ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6 সেমি.( উত্তর ) (iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর P যে কোন একটি বিন্দু । বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং OP =3 সেমি হলে, P বিন্দুগামী যে জ্যা -টির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি । সমাধানঃ ধরি P বিন্দুগামী AB কুদ্রতম জ্যা । ∴ P ,AB এর মধ্যবিন্দু । অর্থাৎ , OP ⊥ AB সমকোণী ∆OPB থেকে পাই , BP2 = OB2 –OP2 বা, BP2 = (5)2-(3)2 বা, BP2 = 25-9 বা, BP2 = 16 বা, BP = 4 ∴ AB জ্যাটির দৈর্ঘ্য = 2×BP = 2×4 =8 সেমি. ( উত্তর ) (v) P ও Q কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করে । A বিন্দু দিয়ে PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটি কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে । PQ = 5 সেমি হলে , CD এর দৈর্ঘ্য কত তার নির্ণয় করি । সমাধানঃ P ও Q বিন্দুতে PM ও QN লম্ব হলে , AM = ½ CA এবং AN = ½ AD ∴ MN = ½ CD আবার যেহেতু PQ ∥ CD এবং PM ∥ QN ∴ PQ = MN ∴ PQ = ½ CD বা , CD = 2PQ = 2×5=10 সেমি.( উত্তর )
