Dighat somikoron koshe dekhi 1.2 madhyamik mathematics solution for wbbse

আজ আমরা মাধ্যমিক প্রকাশ গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২ এর সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর এখানে আলোচনা করবো।। মাধ্যমিক গণিত ব্ইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২

Q1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:

(i) ${{x}^{2}}+x+1=0,\quad \quad 1$ ও $-1$

সমাধান :

যদি 1 এবং − 1 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=1$ এবং $x=-1$ মানে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ

হতে হবে।

এখন, $x=1$ হলে, $x^{2}+x+1$ এর মান হবে,

$=1^{2}+1+1$

$=3\neq 0$

অর্থাৎ, $x=1$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, 1 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির

$\left ({{x}^{2}}+x+1=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

আবার,

$x=-1$ হলে, $x^{2}+x+1$ এর মান হবে,

$=\left (-1 \right )^{2}+\left (-1 \right )+1$

$=1-1+1$

$=1\neq 0$

অর্থাৎ, $x=-1$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, − 1 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({{x}^{2}}+x+1=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

উত্তর : 1 এবং − 1 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

(ii) $8{{x}^{2}}+7x=0,\quad \quad 0$ ও $-2$

সমাধান :

যদি 0 এবং − 2 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=0$ এবং $x=-2$ মানে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ

হতে হবে।

এখন, $x=0$ হলে, $8x^{2}+7x$ এর মান হবে,

$=8\left (0 \right )^{2}+7\left (0 \right )$

$=0$

অর্থাৎ, $x=0$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল।

সুতরাং, 0 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({8{x}^{2}}+7x=0 \right )$ একটি বীজ হওয়া সম্ভব।

আবার,

$x=-2$ হলে, $8x^{2}+7x$ এর মান হবে,

$=8\left (-2 \right )^{2}+7\left (-2 \right )$

$=8\times 4-14$

$=32-14$

$=18\neq 0$

অর্থাৎ, $x=-2$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, − 2 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({8{x}^{2}}+7x=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

উত্তর : 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হওয়া সম্ভব কিন্তু − 2 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

(iii) $x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6},\quad \quad \frac{5}{6}$ ও $\frac{4}{3}$

সমাধান :

যদি $\frac{5}{6}$ এবং $\frac{4}{3}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=\frac{5}{6}$ এবং $x=\frac{4}{3}$ মানে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ হতে

হবে।

এখন, $x=\frac{5}{6}$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান হবে,

$=\frac{5}{6}+\frac{1}{\left ( \frac{5}{6} \right )}$

$=\frac{5}{6}+\left ( 1\div \frac{5}{6} \right )$

$=\frac{5}{6}+\left ( 1\times \frac{6}{5} \right )$

$=\frac{5}{6}+\frac{6}{5}$

$=\frac{\left ( 5\times 5 \right )+\left ( 6\times 6 \right )}{30}$

$=\frac{25+36}{30}$

$=\frac{61}{30}\neq \frac{13}{6}$

অর্থাৎ, $x=\frac{5}{6}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, $\frac{5}{6}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left (x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6} \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

আবার,

$x=\frac{4}{3}$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান হবে,

$=\frac{4}{3}+\frac{1}{\left ( \frac{4}{3} \right )}$

$=\frac{4}{3}+\left ( 1\div \frac{4}{3} \right )$

$=\frac{4}{3}+\left ( 1\times \frac{3}{4} \right )$

$=\frac{4}{3}+\frac{3}{4}$

$=\frac{\left ( 4\times 4 \right )+\left ( 3\times 3 \right )}{12}$

$=\frac{16+9}{12}$

$=\frac{25}{12}\neq \frac{13}{6}$

অর্থাৎ, $x=\frac{4}{3}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল না।

সুতরাং, $\frac{4}{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left (x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6} \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

উত্তর : ${\color{DarkGreen} \frac{5}{6}}$ এবং ${\color{DarkGreen} \frac{4}{3}}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব নয়।

(iv) ${{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0,\quad \quad -\sqrt{3}$ ও $2\sqrt{3}$

সমাধান :

যদি $-\sqrt{3}$ এবং $2\sqrt{3}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হতে হয়, তবে $x=-\sqrt{3}$ এবং $x=2\sqrt{3}$ মানে দ্বিঘাত

সমীকরণটিকে সিদ্ধ হতে হবে।

এখন, $x=-\sqrt{3}$ হলে, $x^{2}-\sqrt{3}x-6$ এর মান হবে,

$=\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}-\sqrt{3}\left ( -\sqrt{3} \right )-6$

$=3+3-6\; \; \; {\color{Blue} \left [ \because \left ( -\sqrt{3} \right )^{2}=\left ( -\sqrt{3} \right )\times \left ( -\sqrt{3} \right )=3 \right ]}$

$=6-6\Rightarrow 0$

অর্থাৎ, $x=-\sqrt{3}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল।

সুতরাং, $-\sqrt{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব।

আবার,

$x=2\sqrt{3}$ হলে, $x^{2}-\sqrt{3}x-6$ এর মান হবে,

$=\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}-\sqrt{3}\left ( 2\sqrt{3} \right )-6$

$=\left (4\times 3 \right )-\left ( 2\times 3 \right )-6\; \; \; {\color{Blue} \left [ \because \left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}=2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=4\times 3 \right ]}$

$=12-6-6$

$=6-6\Rightarrow 0$

অর্থাৎ, $x=2\sqrt{3}$ এ দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হল।

সুতরাং, $2\sqrt{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির $\left ({{x}^{2}}-\sqrt{3}x-6=0 \right )$ বীজ হওয়া সম্ভব।

উত্তর : ${\color{DarkGreen} -\sqrt{3}}$ এবং ${\color{DarkGreen} 2\sqrt{3}}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হওয়া সম্ভব।

Q2. (i) k -এর কোন মানের জন্য $7{{x}^{2}}+kx-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\frac{2}{3}$ হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

যেহেতু, $\frac{2}{3}$ হল $7{{x}^{2}}+kx-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $\frac{2}{3}$ বসাতে পারব।

∴ $7{{x}^{2}}+kx-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=\frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই,

$7\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}+k\left ( \frac{2}{3} \right )-3=0$

বা, $7\left ( \frac{4}{9} \right )+k\left ( \frac{2}{3} \right )-3=0$

বা, $\frac{28}{9}+k\left ( \frac{2}{3} \right )-3=0$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=3-\frac{28}{9}$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{\left ( 3\times 9 \right )-28}{9}$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{27-28}{9}$

বা, $k\left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{-1}{9}$

বা, $k=-\left ( \frac{1}{9}\times \frac{3}{2} \right )$

$\therefore k=-\frac{1}{6}$

উত্তর : নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} -\frac{1}{6}}$

Q2. (ii) k -এর কোন মানের জন্য ${{x}^{2}}+3ax+k=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $-a$ হবে হিসাব

করে লিখি।

সমাধান :

যেহেতু, $-a$ হল ${{x}^{2}}+3ax+k=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $-a$ বসাতে পারব।

∴ ${{x}^{2}}+3ax+k=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=-a$ বসিয়ে পাই,

${{\left ( -a \right )}^{2}}+3a\left (-a \right )+k=0$

বা, $a^{2}-3a^{2}+k=0$

বা, $-2a^{2}+k=0$

$\therefore k=2a^{2}$

উত্তর : নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} 2a^{2}}$

Q3. যদি $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ $\frac{2}{3}$ ও $-3$ হয় তবে a ও b -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান :

যেহেতু, $\frac{2}{3}$ হল $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $\frac{2}{3}$ বসাতে পারব।

∴ $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=\frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই,

$a\left (\frac{2}{3} \right )^{2}+7\left (\frac{2}{3} \right )+b=0$

বা, $a\left ( \frac{4}{9} \right )+\frac{14}{3}+b=0$

বা, $\frac{4a}{9}+\frac{14}{3}+b=0$

প্রত্যেকটি পদকে 9 (3 ও 9 এর ল. সা. গু.) দ্বারা গুন করে পাই,

বা, $\left ( \frac{4a}{9}\times 9 \right )+\left ( \frac{14}{3}\times 9 \right )+b\times 9=0\times 9$

বা, $4a+42+9b=0$

${\color{Blue} \therefore 4a+9b=-42\; \; \; .....\left ( i \right )}$

আবার,

যেহেতু, $-3$ হল $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।

$x$ এর পরিবর্তে আমরা $-3$ বসাতে পারব।

∴ $ax^{2}+7x+b=0$ দ্বিঘাত সমীকরণে $x=-3$ বসিয়ে পাই,

$a\left (-3 \right )^{2}+7\left (-3 \right )+b=0$

বা, $9a-21+b=0$

${\color{Blue} \therefore b=21-9a\; \; \; ....\left ( ii \right )}$

এখন, (i) নং সমীকরণে $b=21-9a$ বসিয়ে পাই,

$4a+9\left ( 21-9a \right )=-42$

$4a+189-81a=-42$

$-77a=-42-189$

$77a=42+189$

$a=\frac{231}{77}$

${\color{Magenta} \therefore a=3}$

এখন, (ii) নং সমীকরণে $a=3$ বসিয়ে পাই,

$b=21-9\left ( 3 \right )$

$b=21-27$

${\color{Magenta} \therefore b=-6}$

উত্তর : নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} a=3,b=-6}$

Q4. সমাধান করি :

(i) $3{{y}^{2}}-20=160-2{{y}^{2}}$

সমাধান :

$3{{y}^{2}}-20=160-2{{y}^{2}}$

$\Rightarrow 3y^{2}+2y^{2}=160+20$

$\Rightarrow 5y^{2}=180$

$\Rightarrow y^{2}=\frac{180}{5}=36$

$\therefore y=\pm \sqrt{36}=\pm 6$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 6, − 6.

(ii) ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=6x+47$

সমাধান :

${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=6x+47$

$\Rightarrow \left ( 2x \right )^{2}+2.2x.1+\left ( 1 \right )^{2}+\left ( x \right )^{2}+2.x.1+\left ( 1 \right )^{2}=6x+47$

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+1+x^{2}+2x+1=6x+47$

$\Rightarrow 5x^{2}+6x+2-6x-47=0$

$\Rightarrow 5x^{2}=45$

$\Rightarrow x^{2}=\frac{45}{5}=9$

$\therefore x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 3, − 3.

(iii) $\left( x-7 \right)\left( x-9 \right)=195$

সমাধান :

$\left( x-7 \right)\left( x-9 \right)=195$

$\Rightarrow x^{2}-9x-7x+63=195$

$\Rightarrow x^{2}-16x+63-195=0$

$\Rightarrow x^{2}-16x-132=0$

$\Rightarrow x^{2}-22x+6x-132=0$

$\Rightarrow x\left ( x-22 \right )+6\left ( x-22 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-22 \right )\left ( x+6 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

$\therefore \left ( x-22 \right )=0$

$\Rightarrow x=22$

অথবা,

$\therefore \left ( x+6 \right )=0$

$\Rightarrow x=-6$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 22, − 6.

(iv) $3x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3},\quad x\ne 0$

সমাধান :

$3x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3}$

$\Rightarrow 3x-\frac{24}{x}-\frac{x}{3}=0$

$\Rightarrow \frac{9x^{2}-72-x^{2}}{3x}=0$

$\Rightarrow 8x^{2}-72=0$ $\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow 8x^{2}=72$

$\Rightarrow x^{2}=\frac{72}{8}=9$

$\therefore x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 3, − 3.

(v) $\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x},\quad x\ne 0$

সমাধান :

$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x}$

$\Rightarrow \frac{x}{3}+\frac{3}{x}-\frac{15}{x}=0$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+9-45}{3x}=0$

$\Rightarrow x^{2}-36=0\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow x^{2}=36$

$\therefore x=\pm \sqrt{36}=\pm 6$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান 6, -6

(vi) $10x-\frac{1}{x}=3,\quad x\ne 0$

সমাধান :

$10x-\frac{1}{x}=3$

$\Rightarrow 10x-\frac{1}{x}-3=0$

$\Rightarrow \frac{10x^{2}-1-3x}{x}=0$

$\Rightarrow 10x^{2}-3x-1=0\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow 10x^{2}-5x+2x-1=0$

$\Rightarrow 5x\left ( 2x-1 \right )+1\left ( 2x-1 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( 5x+1 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

$\therefore \left ( 2x-1 \right )=0$

$\Rightarrow 2x=1$

$\therefore x=\frac{1}{2}$

অথবা,

$\left ( 5x+1 \right )=0$

$\Rightarrow 5x=-1$

$\therefore x=-\frac{1}{5}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} \frac{1}{2},-\frac{1}{5}.}$

(vii) $\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{5}{x}+2=0,\quad x\ne 0$

সমাধান :

$\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{5}{x}+2=0$

$\Rightarrow \frac{2-5x+2x^{2}}{x^{2}}=0$

$\Rightarrow 2x^{2}-5x+2=0\left [ \because x\neq 0 \right ]$

$\Rightarrow 2x^{2}-4x-x+2=0$

$\Rightarrow 2x\left ( x-2 \right )-1\left ( x-2 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-2 \right )\left ( 2x-1 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

$\therefore \left ( x-2 \right )=0$
বা, $x=2$

অথবা,

$2x-1=0$

বা, $2x=1$

$\therefore x=\frac{1}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} \frac{1}{2},2}.$

(viii) $\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}+6\left( \frac{x-2}{x-6} \right)=1,\quad x\ne -2,6$

সমাধান :

$\frac{\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)}+6\left( \frac{x-2}{x-6} \right)=1$

$\Rightarrow \frac{x-2}{x+2}+6\left ( \frac{x-2}{x-6} \right )-1=0$

$\Rightarrow \frac{\left ( x-2 \right )\left ( x-6 \right )+6\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )-\left ( x+2 \right )\left ( x-6 \right )}{\left ( x+2 \right )\left ( x-6 \right )}=0$

$\Rightarrow x^{2}-6x-2x+12+6x^{2}+12x-12x-24-x^{2}+6x-2x+12=0\times \left [ \left ( x+2 \right )\left ( x-6 \right ) \right ]$

$\Rightarrow 6x^{2}-4x=0$

$\Rightarrow 2x\left ( 3x-2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$2x=0$

$\therefore x=\frac{0}{2}=0$

অথবা,

$3x-2=0$

$\Rightarrow 3x=2$

$\therefore x=\frac{2}{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} x=0,\frac{2}{3}}$ .

(ix) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6},\quad x\ne 3,-5$

সমাধান :

$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{\left ( x+5 \right )-\left ( x-3 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x+5 \right )}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow x^{2}+2x-15=48$

$\Rightarrow x^{2}+2x-63=0$

$\Rightarrow x^{2}+9x-7x-63=0$

$\Rightarrow x\left ( x+9 \right )-7\left ( x+9 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x+9 \right )\left ( x-7 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$x+9=0$

$\therefore x=-9$

অথবা,

$x-7=0$

$\therefore x=7$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 7,-9.}$

(x) $\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12},\quad x\ne 0,-1$

সমাধান :

$\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}}{x\left ( x+1 \right )}=\frac{25}{12}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}+x^{2}+x+x+1}{x^{2}+x}=\frac{25}{12}$

$\Rightarrow 25x^{2}+25x=24x^{2}+24x+12$

$\Rightarrow 25x^{2}-24x^{2}+25x-24x-12=0$

$\Rightarrow x^{2}+x-12=0$

$\Rightarrow x^{2}+4x-3x-12=0$

$\Rightarrow x\left ( x+4 \right )-3\left ( x+4 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x+4 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$x+4=0$

$\therefore x=-4$

অথবা,
$x-3=0$
$\therefore x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 3,-4.}$

(xi) $\frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx},\quad \left[ a\ne b,\ c\ne d \right],\quad x\ne -\frac{a}{b},-\frac{c}{d}$

সমাধান :

$\frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx}$

$\Rightarrow \frac{ax+b}{a+bx}-\frac{cx+d}{c+dx}=0$

$\Rightarrow \frac{\left ( ax+b \right )\left ( c+dx \right )-\left ( cx+d \right )\left ( a+bx \right )}{\left ( a+bx \right )\left ( c+dx \right )}=0$

$\Rightarrow acx+adx^{2}+bc+bdx-acx-bcx^{2}-ad-bdx=0\times \left ( a+bx \right )\left ( c+dx \right )$

$\Rightarrow adx^{2}-bcx^{2}+bc-ad=0$

$\Rightarrow x^{2}\left ( ad-bc \right )-1\left ( ad-bc \right )=0$

$\Rightarrow \left ( ad-bc \right )\left ( x^{2}-1 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x^{2}-1 \right )=\frac{0}{\left ( ad-bc \right )}$

$\Rightarrow \left ( x^{2}-1 \right )=0$

$\Rightarrow x^{2}=1$

$\therefore x=\pm \sqrt{1}=\pm 1$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 1,-1.}$

(xii) $\left( 2x+1 \right)+\frac{3}{\left( 2x+1 \right)}=4,\quad x\ne -\frac{1}{2}$

সমাধান :

$\left( 2x+1 \right)+\frac{3}{\left( 2x+1 \right)}=4$

$\Rightarrow \frac{\left ( 2x+1 \right )^{2}+3}{2x+1}=4$

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+1+3=8x+4$

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+4-8x-4=0$

$\Rightarrow 4x^{2}-4x=0$

$\Rightarrow 4x\left ( x-1 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$4x=0$
$\therefore x=\frac{0}{4}=0$

অথবা,
$x-1=0$
$\therefore x=1$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 0,1.}$

(xiii) $\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6},\quad x\ne -1$

সমাধান :

$\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6}$

$\Rightarrow \frac{x+1}{2}-\frac{x+1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+1}$

$\Rightarrow \frac{3\left ( x+1 \right )-2\left ( x+1 \right )+5}{6}=\frac{3-2}{x+1}$

$\Rightarrow \frac{3x+3-2x-2+5}{6}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow \frac{x+6}{6}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow \left ( x+6 \right )\left ( x+1 \right )=6$

$\Rightarrow x^{2}+x+6x+6-6=0$

$\Rightarrow x^{2}+7x=0$

$\Rightarrow x\left ( x+7 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$\therefore x=0$

অথবা,

$x+7=0$

$\therefore x=-7$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 0,7.}$

(xiv) $\frac{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5},\quad x\ne -\frac{1}{3},-7$

সমাধান :

$\frac{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{\left ( 12x+17 \right )\left ( x+7 \right )-\left ( 2x+15 \right )\left ( 3x+1 \right )}{\left ( 3x+1 \right )\left ( x+7 \right )}=\frac{16}{5}$

$\Rightarrow \frac{12x^{2}+84x+17x+119-6x^{2}-2x-45x-15}{3x^{2}+21x+x+7}=\frac{16}{5}$

$\Rightarrow \frac{6x^{2}+54x+104}{3x^{2}+22x+7}=\frac{16}{5}$

$\Rightarrow 48x^{2}+352x+112=30x^{2}+270x+520$

$\Rightarrow 48x^{2}-30x^{2}+352x-270x+112-520=0$

$\Rightarrow 18x^{2}+82x-408=0$

$\Rightarrow 2\left ( 9x^{2}+41x-204 \right )=0$

$\Rightarrow 9x^{2}+41x-204=\frac{0}{2}=0$

$\Rightarrow 9x^{2}+68x-27x-204=0$

$\Rightarrow x\left ( 9x+68 \right )-3\left ( 9x+68 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( 9x+68 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$9x+68=0$

$\Rightarrow 9x=-68$

$\therefore x=-\frac{68}{9}$

অথবা,

$x-3=0$

$\therefore x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 3,-\frac{68}{9}.}$

(xv) $\frac{x+3}{x-3}+6\left( \frac{x-3}{x+3} \right)=5,\quad x\ne 3,-3$

সমাধান :

$\frac{x+3}{x-3}+6\left( \frac{x-3}{x+3} \right)=5$

ধরি,

$\frac{x+3}{x-3}=a$

$\therefore a+\frac{6}{a}-5=0$
$\Rightarrow \frac{a^{2}+6-5a}{a}=0$

$\Rightarrow a^{2}-5a+6=0\times a=0$

$\Rightarrow a^{2}-3a-2a+6=0$

$\Rightarrow a\left ( a-3 \right )-2\left ( a-3 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( a-3 \right )\left ( a-2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$a+3=0$

$\Rightarrow a=3$

$\Rightarrow \frac{x+3}{x-3}=3$ $\left [ \because a=\frac{x+3}{x-3} \right ]$

$\Rightarrow 3\left ( x-3 \right )=1\left ( x+3 \right )$

$\Rightarrow 3x-x=3+9$

$\Rightarrow 2x=12$

$\therefore x=\frac{12}{2}=6$

অথবা,

$a-2=0$

$\Rightarrow a=2$

$\Rightarrow \frac{x+3}{x-3}=2$ $\left [ \because a=\frac{x+3}{x-3} \right ]$

$\Rightarrow 2\left ( x-3 \right )=1\left ( x+3 \right )$

$\Rightarrow 2x-6=x+3$

$\Rightarrow 2x-x=6+3$

$\therefore x=9$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 6,9.}$

(xvi) $\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x},\quad x\ne 0,-\left( a+b \right)$

সমাধান :

$\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow \frac{x-a-b-x}{x\left ( a+b+x \right )}=\frac{b+a}{ab}$

$\Rightarrow \frac{-\left ( a+b \right )}{ax+bx+x^{2}}=\frac{a+b}{ab}$

$\Rightarrow \frac{-1}{ax+bx+x^{2}}=\frac{1}{ab}$

$\Rightarrow ax+bx+x^{2}=-ab$

$\Rightarrow x^{2}+ax+bx+ab=0$

$\Rightarrow x\left ( x+a \right )+b\left ( x+a \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x+a \right )\left ( x+b \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$x+a=0$
$\therefore x=-a$

অথবা,
$x+b=0$
$\therefore x=-b$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} -a,-b.}$

(xvii) ${{\left( \frac{x+a}{x-a} \right)}^{2}}-5\left( \frac{x+a}{x-a} \right)+6=0,\quad x\ne a$

সমাধান :

${{\left( \frac{x+a}{x-a} \right)}^{2}}-5\left( \frac{x+a}{x-a} \right)+6=0$

ধরি,

$\frac{x+a}{x-a}=p$

$\Rightarrow p^{2}-5p+6=0$

$\Rightarrow p^{2}-3p-2p+6=0$

$\Rightarrow p\left ( p-3 \right )-2\left ( p-3 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( p-3 \right )\left ( p-2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,

$p-3=0$

$\Rightarrow p=3$

$\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=3 \left [ \because p=\frac{x+a}{x-a} \right ]$

$\Rightarrow 3\left ( x-a \right )=x+a$

$\Rightarrow 3x-3a=x+a$

$\Rightarrow 3x-x=3a+a$

$\Rightarrow 2x=4a$

$\therefore x=\frac{4a}{2}=2a$

অথবা,

$p-2=0$

$\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=2 \left [ \because p=\frac{x+a}{x-a} \right ]$

$\Rightarrow 2\left ( x-a \right )=1\left ( x+a \right )$

$\Rightarrow 2x-2a=x+a$

$\Rightarrow 2x-x=2a+a$

$\therefore x=3a$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 2a,3a.}$

(xviii) $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b},\quad x\ne 0,-b$

সমাধান :
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}$

$\Rightarrow \frac{x+b-x}{x\left ( x+b \right )}=\frac{a+b-a}{a\left ( a+b \right )}$

$\Rightarrow \frac{b}{x\left ( x+b \right )}=\frac{b}{a\left ( a+b \right )}$

$\Rightarrow \frac{1}{\left ( x^{2}+bx \right )}=\frac{1}{\left ( a^{2}+ab \right )}$

$\Rightarrow x^{2}+bx=a^{2}+ab$

$\Rightarrow x^{2}-a^{2}+bx-ab=0$

$\Rightarrow \left ( x+a \right )\left ( x-a \right )+b\left ( x-a \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-a \right )\left ( x+a+b \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$x-a=0$
$\therefore x=a$

অথবা,
$x+a+b=0$
$\therefore x=-a-b=-\left ( a+b \right )$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} a,-\left ( a+b \right ).}$

(xix) $\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6},\quad x\ne 1,2,3,4$

সমাধান :

$\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}+\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}+\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{x-1-x-4}{\left ( x-4 \right )\left ( x-1 \right )}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{3}{x^{2}-x-4x+4}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{3}{x^{2}-5x+4}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow x^{2}-5x+4=18$

$\Rightarrow x^{2}-5x+4-18=0$

$\Rightarrow x^{2}-5x-14=0$

$\Rightarrow x^{2}-7x+2x-14=0$

$\Rightarrow x\left ( x-7 \right )+2\left ( x-7 \right )=0$

$\Rightarrow \left ( x-7 \right )\left ( x+2 \right )=0$

$\because$ দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়,

অর্থাৎ,
$x-7=0$
$\therefore x=7$

অথবা,
$x+2=0$
$\therefore x=-2$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ${\color{DarkGreen} 7,-2.}$

(xx) $\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2c}{x-c},\quad x\ne a,b,c$

সমাধান :

$\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2c}{x-c}$

$\Rightarrow \frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{c}{x-c}+\frac{c}{x-c}$

$\Rightarrow \frac{a}{x-a}-\frac{c}{x-c}=\frac{c}{x-c}-\frac{b}{x-b}$

$\Rightarrow \frac{a\left ( x-c \right )-c\left ( x-a \right )}{\left ( x-a \right )\left ( x-c \right )}=\frac{c\left ( x-b \right )-b\left ( x-c \right )}{\left ( x-c \right )\left ( x-b \right )}$