Dighat somikoron koshe dekhi 1.1 madhyamik mathematics solution wbbse

এই অধ্যায়ে আমরা একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ থেকে সমস্ত   প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করবো। 

1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।

(i) x² - 7x+2

Ans: প্রদত্ত সংখ্যামালাটিকে আমারা ax²+bx+c=0 সমীকরনের আকারে লিখতে পারছি। যেখানে x হলো চলসংখ্যা এবং a, b, c (a#0) হলো বাস্তব সংখ্যা।

এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ  ঘাত = 2

(মনে রাখতে হবে কোনো চলসংখ্যার মাথায় (x²) সর্বোচ্চ মান্ই হলো সর্বোচ্চ ঘাত)

∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী (ত্রিপদী) সংখ্যামালা।

(মনে রাখতে হবে কোনো সংখ্যামালায় যত গুলি পদ (1×x², 7x, 2) আছে তাদের যোগফল হলো পদ সংখ্যা।

(ii) 7x⁵ -x(x+2)

Ans: = 7x⁵-x² -2x

        

প্রদত্ত সংখ্যামালাটিকে আমারা ax²+bx+c=0 সমীকরনের আকারে লিখতে পারছি না। যেখানে x হলো চলসংখ্যা এবং a, b, c (a#0) হলো বাস্তব সংখ্যা।

এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ  ঘাত = 5

∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

প্রদত্ত সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট পঞ্চঘাত বহুপদী (ত্রিপদী) সংখ্যামালা।

(iii) 2x (x+5)+1

Ans: = 2x²+10x+1

প্রদত্ত সংখ্যামালাটিকে আমারা ax²+bx+c=0 সমীকরনের আকারে লিখতে পারছি। যেখানে x হলো চলসংখ্যা এবং a, b, c (a#0) হলো বাস্তব সংখ্যা।

এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2

∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

প্রদত্ত সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী (ত্রিপদী) সংখ্যামালা।

(iv) 2x-1 

Ans: 2x-1

প্রদত্ত সংখ্যামালাটিকে আমারা ax²+bx+c=0 সমীকরনের আকারে লিখতে পারছি না। যেখানে x হলো চলসংখ্যা এবং a, b, c (a#0) হলো বাস্তব সংখ্যা।

এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 1

∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

প্রদত্ত সংখ্যামালাটি একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী (দ্বিপদী) সংখ্যামালা ।

2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c=0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।

$\left(i\right)x-1+\frac{1}{x}=6,(x\ne 0)$

Ans: বা, $x+\frac{1}{x}=6+1$

বা, $\frac{x^2+1}{x}=7$

বা, $x^2+1=7x$

বা, $x^2-7x+1=0$

—(i) নং সমীকরণ 

একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরন।

∴ (i) নং সমীকরণকে $a{x}^2+bx+\mathrm{c(x\#0)}$ আকারে লেখা যায় যেখানে a=1, b= -7, c=1 ( a, b, c বাস্তব সংখ্যা কিন্তু a#0।

(ii) $x+\frac{3}{x}=x^2,(x\ne 0)$

Ans: বা, $\frac{x^2+3}{x}=x^2$

বা, $x^2+3=x^3$

বা, $x^3=x^2+3$

বা, $x^3-x^2-3=0$  —(ii) নং সমীকরণ

∴ (ii) নং সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$ আকারে প্রকাশ করা যাবে না

$\left(iii\right)x^2-6\sqrt{x+2=0}$

Ans : বা, $x^2+2=6\sqrt{x}$

বা, ${(x^2+2)}^2={\left(6\sqrt{x}\right)}^2$ [ উভয় পাশে বর্গ করে পাই ]

বা, ${\left(x^2\right)}^2+2.x^2.2+2^2=36x$

বা, $x^4+4x^2+4=36x$

বা, $x^4+4x^2-36x+4=0$ —— (iii) নং সমীকরণ

∴ (iii) নং সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$ আকারে প্রকাশ করা যাবে না

iv) (x-2)² = x² - 4x + 4

      বা,x² - 4x + 4 = x² - 4x + 4

      বা,0=0

এটি একটি আভেদ সমীকরণ নয়

∴ এটি কে $a{x}^2+bx+c=0$ আকারে প্রকাশ করা যাবে না

3. $x^6-x^3-2=0$ সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।

Ans : $x^6-x^3-2=0$

বা, ${\left(x^3\right)}^2-x^3-2=0$ [ ধরি $x^3$ =y ]

বা, $y^2-y-2=0$

∴ $y^2-y-2=0$ সমীকরণটি $x^3$ সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

4. (i) (a-2)x²+3x+5= 0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।

Ans: (a-2)x²+3x+5= 0

এখানে x2 এর সহগ (a-2) =0 হলে এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না

(a-2)x²+3x+5= 0

বা, 2-2x² +3x+5=0

বা, 0.x² +3x+5=0

বা, 0+3x+5=0

বা, 3x+5=0

∴ প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না যখন a=2 হবে 

4.(ii) $\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}$ , (x ≠ 0, x ≠ 4) -কে ax²+bx+c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।

Ans: $\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}$ , (x ≠ 0, x ≠ 4)

বা, 3x² =4-x

বা, 3x² +x -4=0 —–>(i) নং সমীকরণ

∴ (i) নং সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$ আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ হবে =1

4.(iii) 3x²+7x+23 = (x+4) (x+3)+2-কে ax²+bx+c=0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।

Ans: 3x²+7x+23 = (x+4) (x+3)+2

বা, 3x²+7x+23 = x²+3x+4x+12+2

বা, 3x²+7x+23 = x²+3x+7x+14

বা, 3x² -x²+$7x-7x$ +23 -14=0

বা, 2x²+9=0

বা, 2x²+0.x+9=0

∴ 2x²+0.x+9=0 এটি ax²+bx+c=0 সমীকরণ আকারে 

4.(iv) (x+2)³= x(x²-1) সমীকরণটিকে ax²+bx+c = 0 (a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও y⁰ -এর সহগ লিখি।

Ans: (x+2)³= x(x²-1)

বা, x³+3x²2+3x2²+2³=x³-x

বা, x³ +6x²+12x+8=x³-x

বা, $x^3-x^3$+6x²+12x+x+8=0

বা, 6x²+13x+8=0

∴ 6x²+13x+8=0 এই সমীকরণটি ax²+bx+c = 0 এর আকারে প্রকাশ করা হল

এবং এখানে x² -এর সহগ =6, x -এর সহগ =13, $x^0$ -এর সহগ =8

5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।

(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়। 

Ans:

ধরি একটি অংশ = x

∴ অপর অংশ হবে (42-x)

∴ প্রশ্নানুসারে x²=42-x

বা, x²+x-42=0

∴ x²+x-42=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 

Ans:

ধরি একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা =x

অপর সংখ্যাটি হবে x+2

∴ প্রশ্নানুসারে x(x+2)=143

বা, x² +2x-143=0

∴ x² +2x-143=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313

Ans: ধরি দুটি ক্রমিক সংখ্যা = x , x+1

∴ প্রশ্নানুসারে (x)² +(x+1)² = 313

বা, x² + x² +2.x.1+1²= 313

বা, 2x²+2x+1-313 = 0

বা, 2x²+2x-312 = 0

বা, 2(x²+x-156 ) = 0

বা, x² +x-156 = 0

∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল = x² +x-156 =0

6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।

(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।

Ans: ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x

∴ দৈর্ঘ্য =x+3

∴ প্রশ্নানুসারে x²  +(x+3)² = 15²

বা, x² +x²  +2.x.3+3² =225

বা, 2x²+6x+9-225 = 0

বা, 2x²+6x-216=0

বা, 2( x²+3x-108 ) = 0

বা, x² +3x-108 = 0

∴ x² +3x-108 = 0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা, চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা, চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা, প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতাে।

Ans: ধরি, ঐ ব্যক্তি x কিগ্রা চিনি 80 টাকায় কিনেছেন

∴ x কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য = 80 টাকা

1 কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য $\frac{80}{x}$ টাকা

আবার, x+4 কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য = 80 টাকা

1 কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য $\frac{80}{x+4}$ টাকা

∴ প্রশ্নানুসারে $\frac{80}{x}$-$\frac{80}{x+4}$=1

বা, $\frac{80x+320-80x}{x(x+4)}$=1

বা, $\frac{320}{x^2+4x}$=1

বা, x² +4x = 320

বা, x² +4x-320 =0

∴ x² +4x-320 =0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ 

(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল।ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।

Ans: ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা

∴ x কিমি/ঘণ্টা গতিবেগে 300 কিমি যেতে সময় লাগে = $\frac{300}{x}$

এবং x+5 কিমি/ঘণ্টা গতিবেগে 300 কিমি যেতে সময় লাগে = $\frac{300}{x+5}$

∴ প্রশ্নানুসারে $\frac{300}{x}$-$\frac{300}{x+5}$=2

বা, $\frac{300x+1500-300x}{x(x+5)}$=2

বা, $\frac{1500}{x^2+5x}$=2

বা, 2x²+10x = 1500

বা, 2x²+10x-1500=0

বা, 2( x² +5x-750 ) = 0

বা, x² +5x-750 = 0

∴ x² +5x-750 = 0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হলাে।

Ans:

Ans: ধরি, ঘড়িটির ক্রয় মূল্য = x টাকা

লাভ হয়েছে = (336-x)

∴ প্রশ্নানুসারে 336 – x = এর x %

বা, 336 – x = $x\times \frac{x}{100}$

বা, 336 – x = $\frac{x^2}{100}$

বা, x² =33600-100x

বা, x² +100x-33600=0

∴ x² +100x-33600=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ 

(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।

Ans: ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ =x কিমি/ঘণ্টা

এবং স্রোতের বেগ = 2 কিমি/ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকারী বেগ = (x+2) কিমি/ঘণ্টা

এবং স্রোতকূলে প্রতিকূলে নৌকার কার্যকারী বেগ = (x-2) কিমি/ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে 21 যেতে সময় লেগেছে = $\frac{21}{x+2}$

স্রোতকূলে প্রতিকূলে 21 যেতে সময় লেগেছে = $\frac{21}{x-2}$

∴ প্রশ্নানুসারে $\frac{21}{x+2}$ + $\frac{21}{x-2}$ =10

বা, $\frac{21x-42+21x+42}{(x+2)(x-2)}$ =10

বা, $\frac{42x}{x^2-2x+2x-4}$ =10

বা, $\frac{42x}{x^2-4}$ =10

বা, 10x²-40=42x

বা, 10x²-42x-40=0

বা, 2( 5x²-21x-20 ) = 0

বা, 5x²-21x-20 = 0

∴ 5x²-21x-20 = 0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ 

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।

Ans: ধরি, মহিম মোট কাজ = 1 অংশ করে x ঘণ্টায়

এবং মজিদ মোট কাজ = 1 অংশ করে x+3 ঘণ্টায়

∴ মহিম x ঘণ্টায় করে 1 অংশ

মহিম 1 ঘণ্টায় করে $\frac{1}{x}$ অংশ

মজিদ x+3 ঘণ্টায় করে 1 অংশ

মজিদ 1 ঘণ্টায় করে $\frac{1}{x+3}$ অংশ

∴ দুজনে একসঙ্গে 1 ঘণ্টায় করে $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x+3}$

= $\frac{x+3+x}{x(x+3)}$

= $\frac{2x+3}{x^2+3x}$

দুজনে একসঙ্গে 2 ঘণ্টায় করে $\frac{2(2x+3)}{x^2+3x}$

$\frac{4x+6}{x^2+3x}$

∴ প্রশ্নানুসারে $\frac{4x+6}{x^2+3x}$ =1

বা, x² +3x = 4x+6

বা, x² +3x-4x-6 = 0

বা, x²  -x-6=0

∴ x²  -x-6=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l

(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।

Ans: ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x

∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি = x+6

∴ সংখ্যাটি 10x+x+6

= 11x+6

∴ প্রশ্নানুসারে, x(x+6) = (11x+6)-12

বা, x² +6x = 11x+6-12

বা, x² +6x-11x+6 = 0

বা, x²-5x+6 = 0

∴ x²-5x+6 = 0

∴ x²-5x+6=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ 

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

Ans: যেহেতু মাঠটির দৈর্ঘ্য = 45 মি. এবং প্রস্থ = 40 মি.

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = 45×40 = 1800 বর্গমি.

মনে করি, রাস্তাটি চওড়া = x মি.

∴ রাস্তাসহ মাঠটির দৈর্ঘ্য = 45+2x মি.

এবং রাস্তাসহ মাঠটির প্রস্থ = 40+2x মি.

এবং রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (45+2x)(40+2x)

∴ প্রশ্নানুসারে, (45+2x)(40+2x)-1800 = 450

বা, $1800$+90x+80x+4x²-$1800$-450 = 0

বা, 4x²+170x-450 = 0

বা, 2(2x²+85x-225) = 0

বা, 2x²+85x-225 = 0

∴ 2x²+85x-225 = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরন