Dighat somikoron koshe dekhi 1.4 madhyamik mathematics solution for wbbse

আজ আমরা মাধ্যমিক প্রকাশ গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৪ এর সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর এখানে আলোচনা করবো।। মাধ্যমিক গণিত ব্ইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৪

Q1.(i) $4{{x}^{2}}+\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)=4x\left( 2x-1 \right)$ এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি ।

সমাধানঃ

$4x^{2}+\left ( 2x-1 \right )\left ( 2x+1 \right )=4x\left ( 2x-1 \right )$

বা, $4x^{2}+4x^{2}+2x-2x-1=8x^{2}-4x$

বা, $8x^{2}-1-8x^{2}+4x=0$

বা, $4x-1=0$

$\because$ $4x-1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের আকারে লেখা যাচ্ছে না।

সুতরাং, $4{{x}^{2}}+\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)=4x\left( 2x-1 \right)$ সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব নয়। (উত্তর)

Q1.(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।

সমাধানঃ

যে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের আকারে লেখা যায়, ( যেখানে $a\neq 0$ ) সেই সমস্ত সমীকরণের সমাধান আমরা শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে করতে পারি। (উত্তর)

Q1.(iii) $5{{x}^{2}}+2x-7=0$ এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে $x=\frac{k\pm 12}{10}$ পাওয়া গেলে k এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

$5x^{2}+2x-7=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=2,c=-7$

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{\left ( 2 \right )^{2}-4\times 5\times \left ( -7 \right )}}{2\times 5}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{4+140}}{10}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{10}$

$=\frac{-2\pm 12}{10}$

$x=\frac{-2\pm 12}{10}$ ……. (i)

আবার, প্রদত্ত $x=\frac{k\pm 12}{10}$ …….(ii)

(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,

$k=-2$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান -2 ।

Q2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

(i) $3{{x}^{2}}+11x-4=0$

সমাধানঃ

$3x^{2}+11x-4=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=3,b=11,c=-4$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( 11 \right )^{2}-4\times 3\times \left ( -4 \right )$ $=121+48=169$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$\therefore 3x^{2}+11x-4=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-11\pm \sqrt{\left ( 11 \right )^{2}-4\times 3\times \left ( -4 \right )}}{2\times 3}$

$=\frac{-11\pm \sqrt{121+48}}{6}$

$=\frac{-11\pm \sqrt{169}}{6}$

$=\frac{-11\pm 13}{6}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{-11+13}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\therefore x=\frac{1}{3}$

অথবা,

$x=\frac{-11-13}{6}=\frac{-24}{6}=-4$

$\therefore x=-4$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল ${\color{DarkGreen} \frac{1}{3}}$ ও ${\color{DarkGreen} -4}$

Q2. (ii) $\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)+9=0$

সমাধানঃ

$\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )+9=0$

বা, $x^{2}+4x-2x-8+9=0$

বা, $x^{2}+2x+1=0$

$x^{2}+2x+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=2,c=1$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( 2 \right )^{2}-4\times 1\times 1$ $=4-4=0$

$\therefore b^{2}-4ac=0$

$\therefore \left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )+9=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{\left ( 2 \right )^{2}-4\times 1\times 1}}{2\times 1}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

$=\frac{-2\pm 0}{2}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{-2+0}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$\therefore x=-1$

অথবা,

$x=\frac{-2-0}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$\therefore x=-1$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল − 1 ও − 1

Q2. (iii) ${{\left( 4x-3 \right)}^{2}}-2\left( x+3 \right)=0$

সমাধানঃ

$\left ( 4x-3 \right )^{2}-2\left ( x+3 \right )=0$

বা, $16x^{2}-24x+9-2x-6=0$

বা, $16x^{2}-26x+3=0$

$16x^{2}-26x+3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=16,b=-26,c=3$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -26 \right )^{2}-4\times 16\times 3=676-192=484>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$\left ( 4x-3 \right )^{2}-2\left ( x+3 \right )=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-\left ( -26 \right )\pm \sqrt{\left ( -26 \right )^{2}-4\times 16\times 3}}{2\times 16}$

$=\frac{26\pm \sqrt{484}}{32} {\color{Blue} \left [ \because b^{2}-4ac=484 \right ]}$

$=\frac{26\pm 22}{32}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{26+22}{32}=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}$

$\therefore x=\frac{3}{2}$

অথবা,

$x=\frac{26-22}{32}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$

$\therefore x=\frac{1}{8}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল ${\color{DarkGreen} \frac{3}{2}}$ ও ${\color{DarkGreen} \frac{1}{8}}$

Q2. (iv) $3{{x}^{2}}+2x-1=0$

সমাধানঃ

$3x^{2}+2x-1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=3,b=2,c=-1$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( 2 \right )^{2}-4\times 3\times \left ( -1 \right )=4+12=16>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$\therefore 3x^{2}+2x-1=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2\times 3}{\color{Blue} \left [ \because b^{2} -4ac=0\right ]}$

$=\frac{-2\pm 4}{6}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\therefore x=\frac{1}{3}$

অথবা,

$x=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1$

$\therefore x=-1$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল ${\color{DarkGreen} \frac{1}{3}}$ ও ${\color{DarkGreen} -1}$

Q2. (v) $3{{x}^{2}}+2x+1=0$

সমাধানঃ

$3x^{2}+2x+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=3,b=2,c=1$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( 2 \right )^{2}-4\times 3\times 1=4-12=-8<0$

$\because b^{2}-4ac<0$

$\therefore 3x^{2}+2x+1=0$ সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ নেই। (উত্তর)

Q2. (vi) $10{{x}^{2}}-x-3=0$

সমাধানঃ

$10x^{2}-x-3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=10,b=-1,c=-3$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -1 \right )^{2}-4\times 10\times \left ( -3 \right )=1+120=121>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$\therefore 10x^{2}-x-3=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-\left ( -1 \right )\pm \sqrt{121}}{2\times 10}{\color{Blue} \left [ \because b^{2} -4ac=121\right ]}$

$=\frac{1\pm 11}{20}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{1+11}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

$\therefore x=\frac{3}{5}$

অথবা,

$x=\frac{1-11}{20}=\frac{-10}{20}=-\frac{1}{2}$

$\therefore x=-\frac{1}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল ${\color{DarkGreen} -\frac{1}{2}}$ ও ${\color{DarkGreen} \frac{3}{5}}$

Q2. (vii) $10{{x}^{2}}-x+3=0$

সমাধানঃ

$10x^{2}-x+3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=10,b=-1,c=3$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -1 \right )^{2}-4\times 10\times 3 =1-120=-119<0$

$\because b^{2}-4ac<0$

$\therefore 10x^{2}-x+3=0$ সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ নেই। (উত্তর)

Q2. (viii) $25{{x}^{2}}-30x+7=0$

সমাধানঃ

$25x^{2}-30x+7=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=25,b=-30,c=7$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -30 \right )^{2}-4\times 25\times 7=900-700=200>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$\therefore 25x^{2}-30x+7=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-\left ( -30 \right )\pm \sqrt{200}}{2\times 25}{\color{Blue} \left [ \because b^{2} -4ac=200\right ]}$

$=\frac{30\pm 10\sqrt{2}}{50}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{30+10\sqrt{2}}{50}=\frac{3+\sqrt{2}}{5}$

অথবা,

$x=\frac{30-10\sqrt{2}}{50}=\frac{3-\sqrt{2}}{5}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল ${\color{DarkGreen} \frac{3+\sqrt{2}}{5}}$ ও ${\color{DarkGreen} \frac{3-\sqrt{2}}{5}}$

Q2. (ix) ${{\left( 4x-2 \right)}^{2}}+6x=25$

সমাধানঃ

$\left ( 4x-2 \right )^{2}+6x=25$

বা, $16x^{2}-16x+4+6x-25=0$

বা, $16x^{2}-10x-21=0$

$16x^{2}-10x-21=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=16,b=-10,c=-21$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -10 \right )^{2}-4\times 16\times \left ( -21 \right )=100+1344=1444>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$\therefore \left ( 4x-2 \right )^{2}+6x=25$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-\left ( -10 \right )\pm \sqrt{1444}}{2\times 16} {\color{Blue} \left [ \because b^{2}-4ac=1444 \right ]}$

$=\frac{10\pm 38}{32}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{10+38}{32}=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}$

$\therefore x=\frac{3}{2}$

অথবা,

$x=\frac{10-38}{32}=-\frac{28}{32}=-\frac{7}{8}$

$\therefore x=-\frac{7}{8}$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজদ্বয় হল ${\color{DarkGreen} \frac{3}{2}}$ ও ${\color{DarkGreen} -\frac{7}{8}}$

Q3. নিন্মলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।

(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুন অপেক্ষা 6 সেমি বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য $=2\times x+6=\left ( 2x+6 \right )$ সেমি ও তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য $=\left ( 2x+6 \right )-2=\left ( 2x+4 \right )$ সেমি

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,

আমরা জানি,

(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²

বা, $\left ( 2x+6 \right )^{2}=\left ( x \right )^{2}+\left ( 2x+4 \right )^{^{2}}$

বা, $4x^{2}+24x+36=x^{2}+4x^{2}+16x+16$

বা, $4x^{2}+24x+36-5x^{2}-16x-16=0$

বা, $-x^{2}+8x+20=0$

বা, $x^{2}-8x-20=0$

$x^{2}-8x-20=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=-8,c=-20$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -8 \right )^{2}-4\times 1\times \left ( -20 \right )=64+80=144>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$x^{2}-8x-20=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-\left ( -8 \right )\pm \sqrt{144}}{2\times 1} {\color{Blue} \left [ \because b^{2}-4ac=144 \right ]}$

$=\frac{8\pm 12}{2}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{8+12}{2}=\frac{20}{2}=10$

অথবা,

$x=\frac{8-12}{2}=-\frac{4}{2}=-2$

$\because$ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -2$

উত্তরঃ নির্ণেয় সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি, অতিভুজের দৈর্ঘ্য ${\color{DarkGreen}\left ( 2\times 10+6 \right )=26}$ সেমি ও তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ${\color{DarkGreen} \left ( 2\times 10+4 \right )=24}$ সেমি।

Q3.(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অক্ষের দ্বিগুন হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x ও দশকের ঘরের অঙ্ক 2x

$\therefore$ ধনাত্মক সংখ্যাটি হবে $=10\times 2x+x=20x+x=21x$

প্রশ্নানুযায়ী,

$21x\times x=189$

বা, $21x^{2}=189$

বা, $x^{2}=\frac{189}{21}=9$

বা, $x=\pm \sqrt{9}$

$\therefore x=\pm 3$

$\because$ সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই $x\neq -3$

$\therefore x=3$

উত্তরঃ নির্ণেয় এককের ঘরের অঙ্কটি হল 3 ।

Q3.(iii) সালমার গতিবেগ অণিকের গতিবেগের থেকে 1 মি./সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অণিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌছায়। অণিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, অণিকের গতিবেগ x মিটার/সেকেন্ড ও সালমার গতিবেগ (x+1) মি./সেকেন্ড

প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{180}{x}-\frac{180}{\left ( x+1 \right )}=2$

বা, $180\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )=2$

বা, $\frac{x+1-x}{x\left ( x+1 \right )}=\frac{2}{180}$

বা, $\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{90}$

বা, $x^{2}+x=90$

বা, $x^{2}+x-90=0$

বা, $x^{2}+10x-9x-90=0$

বা, $x\left ( x+10 \right )-9\left ( x+10 \right )=0$

বা, $\left ( x+10 \right )\left ( x-9 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x+10 \right )=0$

$\therefore x=-10$

$\because$ গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -10$

অথবা,

$\left ( x-9 \right )=0$

$\therefore x=9$

উত্তরঃ নির্ণেয় অণিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে 9 মিটার।

Q3.(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য x মিটার ।

∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য $\left ( x+5 \right )$ মিটার ও প্রস্থ $\left ( x-3 \right )$ মিটার।

আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল =দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = $\left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )$ বর্গমিটার।

বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = ( বাহু )² = $x^{2}$ বর্গমিটার ।

প্রশ্নানুযায়ী,

$2\times x^{2}-78=\left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )$

বা, $2x^{2}-78=x^{2}+5x-3x-15$

বা, $2x^{2}-78-x^{2}-2x+15=0$

বা, $x^{2}-2x-63=$ 0

$x^{2}-2x-63=$ 0 সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=-2,c=-63$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -2 \right )^{2}-4\times 1\times \left ( -63 \right )=4+252=256>$ 0

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$x^{2}-2x-63=$ 0 সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$\inline =\frac{-\left ( -2 \right )\pm \sqrt{256}}{2\times 1} {\color{Blue} \left [ \because b^{2}-4ac=256 \right ]}$

$=\frac{2\pm 16}{2}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{2+16}{2}=\frac{18}{2}=$ 9

অথবা,

$x=\frac{2-16}{2}=-\frac{14}{2}=-$ 7

$\because$ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -$ 7

উত্তরঃ নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার।

Q3.(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24 টি করে বেশী গাছ লাগালে আরও 10 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে । সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, সারির সংখ্যা x টি।

প্রতিটি সারিতে চারাগাছের সংখ্যা $\left ( x+24 \right )$ টি।

প্রশ্নানুযায়ী,

বা, $x^{2}+34x-10x-340=0$

বা, $x\left ( x+34 \right )-10\left ( x+34 \right )=0$

বা, $\left ( x+34 \right )\left ( x-10 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x+34 \right )=0$

$\therefore x=-34$

$\because$ সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -34$

অথবা,

$\left ( x-10 \right )=0$

$\therefore x=10$

উত্তরঃ নির্ণেয় সারির সংখ্যা 10 টি।

Q3.(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘন্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কটি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তল সময় নেয় x মিনিট।

∴ জোসেফ সময় নেয় $\left ( x-5 \right )$ মিনিট।

360 মিনিটে কুন্তল জিনিস তৈরি করে $=\frac{360}{x}$ টি। [ 6 ঘণ্টা = 6× 60 = 360 মিনিট]

360 মিনিটে জোসেফ জিনিস তৈরি করে $=\frac{360}{x-5}$ টি।

প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{360}{x-5}-\frac{360}{x}=6$

বা, $360\left ( \frac{1}{x-5} -\frac{1}{x}\right )=6$

বা, $\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x}=\frac{6}{360}$

বা, $\frac{x-x+5}{x\left ( x-5 \right )}=\frac{1}{60}$

বা, $\frac{5}{x^{2}-5x}=\frac{1}{60}$

বা, $x^{2}-5x=300$

বা, $x^{2}-5x-300=0$

বা, $x^{2}-20x+15x-300=0$

বা, $x\left ( x-20 \right )+15\left ( x-20 \right )=0$

বা, $\left ( x-20 \right )\left ( x+15 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\left ( x+15 \right )=0$

$\therefore x=-15$

$\because$ সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -15$

অথবা,

$\left ( x-20 \right )=0$

$\therefore x=20$

একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তল সময় নেয় 20 মিনিট।

∴ 6 ঘন্টা কাজ করে কুন্তল জিনিস তৈরি করে $=\frac{360}{20}=18$ টি।

উত্তরঃ নির্ণেয় কুন্তল 6 ঘন্টায় 18 টি জিনিস তৈরি করে।

Q3.(vii) স্থিরজলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি./ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকুলে 15 কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, স্রোতের বেগ ছিল x কিমি./ঘন্টা।

স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ (8 + x) কিমি ।

এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (8 – x) কিমি ।

স্রোতের অনুকুলে 15 কিমি যেতে সময় নেয় $=\frac{15}{8+x}$ ঘণ্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি যেতে সময় নেয় $=\frac{22}{8-x}$ ঘণ্টা।

প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{15}{8+x}+\frac{22}{8-x}=5$

বা, $\frac{15\left ( 8-x \right )+22\left ( 8+x \right )}{\left ( 8+x \right )\left ( 8-x \right )}=5$

বা, $\frac{120-15x+176+22x}{64+8x-8x-x^{2}}=5$

বা, $296+7x=5\left ( 64-x^{2} \right )$

বা, $296+7x=320-5x^{2}$

বা, $5x^{2}+7x-24=0$

$5x^{2}+7x-24=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=7,c=-24$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( 7 \right )^{2}-4\times 5\times \left ( -24 \right )=49+480=529>0$

$\therefore b^{2}-4ac>0$

$5x^{2}+7x-24=0$ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{2\times 5} {\color{Blue} \left [ \because b^{2}-4ac=529 \right ]}$

$=\frac{-7\pm 23}{10}$

অর্থাৎ,

$x=\frac{-7+23}{10}=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}=3.6$

অথবা,

$x=\frac{-7-23}{10}=-\frac{30}{10}=-3$

$\because$ স্রোতের বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x\neq -3$

উত্তরঃ নির্ণেয় স্রোতের বেগ 3.6 কিমি/ ঘণ্টা।

Q3.(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি ছিল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ ঘন্টায় x কিমি

এবং এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ ঘন্টায় (x-15) কিমি।

প্রশ্নানুযায়ী,

$\small \frac{180}{x-15}-\frac{180}{x}=1$

বা, $\small 180\left ( \frac{1}{x-15} -\frac{1}{x}\right )=1$

বা, $\small \frac{1}{x-15}-\frac{1}{x}=\frac{1}{180}$

বা, $\small \frac{x-x+15}{x\left ( x-15 \right )}=\frac{1}{180}$

বা, $\small \frac{15}{x^{2}-15x}=\frac{1}{180}$

বা, $\small x^{2}-15x=2700$

বা, $\small x^{2}-15x-2700=0$

বা, $\small x^{2}-\left ( 60-45 \right )x-2700=0$

বা, $\small x^{2}-60x+45x-2700=0$

বা, $\small x\left ( x-60 \right )+45\left ( x-60 \right )=0$

বা, $\small \left ( x-60 \right )\left ( x+45 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

সুতারাং,

$\small \left ( x+45 \right )=0$

$\small \therefore x=-45$

$\because$ গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $\small x\neq -45$

অথবা,

$\small \left ( x-60 \right )=0$

$\small \therefore x=60$

উত্তরঃ নির্ণেয় সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ 60 কিমি/ ঘণ্টা।

Q3.(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা. মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা. 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমান মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমানের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।

সমাধানঃ

ধরি, প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম x টাকা,

ডালের দাম $\left ( x-20 \right )$ টাকা