Dighat somikoron koshe dekhi 1.5 madhyamik mathematics solution for wbbse

আজ আমরা মাধ্যমিক প্রকাশ গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ এর সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর এখানে আলোচনা করবো।। মাধ্যমিক গণিত ব্ইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫

Q1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি –

(i) ${\color{DarkRed} 2{{x}^{2}}+7x+3=0}$

সমাধানঃ

$2x^{2}+7x+3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=2,b=7,c=3$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( 7 \right )^{2}-4\times 2\times 3=49-24=25>0$

$\because b^{2}-4ac>0$

সুতারাং,

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান।

(ii) ${\color{DarkRed} 3{{x}^{2}}-2\sqrt{6}x+2=0}$

সমাধানঃ

$3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=3,b=-2\sqrt{6},c=2$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -2\sqrt{6} \right )^{2}-4\times 3\times 2=24-24=0$

$\because b^{2}-4ac=0$

সুতারাং,

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও সমান।

(iii) ${\color{DarkRed} 2{{x}^{2}}-7x+9=0}$

সমাধানঃ

$2x^{2}-7x+9=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=2,b=-7,c=9$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -7 \right )^{2}-4\times 2\times 9=49-72=-23<0$

$\because b^{2}-4ac<0$

সুতারাং,

সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ পাওয়া যাবে না।

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে অবাস্তব ও কাল্পনিক

(iv) ${\color{DarkRed} \frac{2}{5}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+1=0}$

সমাধানঃ

$\frac{2}{5}x^{2}-\frac{2}{3}x+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=\frac{2}{5},b=-\frac{2}{3},c=1$

$\therefore b^{2}-4ac=\left ( -\frac{2}{3} \right )^{2}-4\times \frac{2}{5}\times 1$

$=\frac{4}{9}-\frac{8}{5}$

$=\frac{20-72}{45}$

$=-\frac{52}{45}<0$

$\because b^{2}-4ac<0$

সুতারাং,

সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ পাওয়া যাবে না।

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি হবে অবাস্তব ও কাল্পনিক।

Q2. k এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি –

(i) ${\color{DarkRed} 49{{x}^{2}}+kx+1=0}$

সমাধানঃ

$49x^{2}+kx+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=49,b=k,c=1$

$\because$ বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

$\therefore b^{2}-4ac=0$

বা, $k^{2}-4\times 49\times 1=0$

বা, $k^{2}=196$

বা, $k=\pm \sqrt{196}$

$\therefore k=\pm 14$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} \pm 14}$ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(ii) ${\color{DarkRed} 3{{x}^{2}}-5x+2k=0}$

সমাধানঃ

$3x^{2}-5x+2k=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=3,b=-5,c=2k$

$\because$ বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

$\therefore b^{2}-4ac=0$

বা, $\left ( -5 \right )^{2}-4\times 3\times 2k=0$

বা, $25-24k=0$

বা, $-24k=-25$

বা, $24k=25$

$\therefore k=\frac{25}{24}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} \frac{25}{24}}$ এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(iii) ${\color{DarkRed} 9{{x}^{2}}-24x+k=0}$

সমাধানঃ

$9x^{2}-24x+k=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=9,b=-24,c=k$

$\because$ বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

$\therefore b^{2}-4ac=0$

বা, $\left ( -24 \right )^{2}-4\times 9\times k=0$

বা, $576-36k=0$

বা, $-36k=-576$

বা, $36k=576$

$\therefore k=\frac{576}{36}=16$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান 16 এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(iv) ${\color{DarkRed} 2{{x}^{2}}+3x+k=0}$

সমাধানঃ

$2x^{2}+3x+k=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=2,b=3,c=k$

$\because$ বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

$\therefore b^{2}-4ac=0$

বা, $\left ( 3 \right )^{2}-4\times 2\times k=0$

বা, $9-8k=0$

বা, $-8k=-9$

বা, $8k=9$

$\therefore k=\frac{9}{8}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} \frac{9}{8}}$ এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(v) ${\color{DarkRed} {{x}^{2}}-2\left( 5+2k \right)x+3\left( 7+10k \right)=0}$

সমাধানঃ

${{x}^{2}}-2\left( 5+2k \right)x+3\left( 7+10k \right)=0$

বা, $x^{2}-\left (10+4k \right )x+\left ( 21+30k \right )=0$

$x^{2}-\left (10+4k \right )x+\left ( 21+30k \right )=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=-\left ( 10+4k \right )=\left ( -10-4k \right ),c=\left ( 21+30k \right )$

$\because$ বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

$\therefore b^{2}-4ac=0$

বা, $\left ( -10-4k \right )^{2}-4\times 1\times \left ( 21+30k \right )=0$

বা, $100+80k+16k^{2}-84-120k=0$

বা, $16k^{2}-40k+16=0$

বা, $8\left ( 2k^{2}-5k+2 \right )=0$

বা, $2k^{2}-5k+2=\frac{0}{8}=0$

বা, $2k^{2}-4k-k+2=0$

বা, $2k\left ( k-2 \right )-1\left ( k-2 \right )=0$

বা, $\left ( k-2 \right )\left ( 2k-1 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

$\left ( k-2 \right )=0$

$\therefore k=2$

অথবা,

$\left ( 2k-1 \right )=0$

বা, $2k=1$

$\therefore k=\frac{1}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান 2 ও ${\color{DarkGreen} \frac{1}{2}}$ এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(vi) ${\color{DarkRed} \left ( 3k+1 \right )x^{2}+2\left ( k+1 \right )x+k=0}$

সমাধানঃ

$\left ( 3k+1 \right )x^{2}+2\left ( k+1 \right )x+k=0$

$\left ( 3k+1 \right )x^{2}+2\left ( k+1 \right )x+k=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=\left ( 3k+1 \right ),b=\left ( 2k+2 \right ),c=k$

$\because$ বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

সুতারাং,

$\therefore b^{2}-4ac=0$

বা, $\left ( 2k+2 \right )^{2}-4\times \left ( 3k+1 \right )\times k=0$

বা, $4k^{2}+8k+4-12k^{2}-4k=0$

বা, $-8k^{2}+4k+4=0$

বা, $-4\left ( 2k^{2}-k-1 \right )=0$

বা, $2k^{2}-k-1=\frac{0}{-4}=0$

বা, $2k^{2}-2k+k-1=0$

বা, $2k\left ( k-1 \right )+1\left ( k-1 \right )=0$

বা, $\left ( k-1 \right )\left ( 2k+1 \right )=0$

দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথক পৃথক ভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ,

$\left ( k-1 \right )=0$

$\therefore k=1$

অথবা,

$\left ( 2k+1 \right )=0$

বা, $2k=-1$

$\therefore k=-\frac{1}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান 1 ও ${\color{DarkGreen} -\frac{1}{2}}$ এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

Q3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি –

(i) 4, 2

সমাধানঃ

আমরা জানি, x চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 4 ও 2, সেই সমীকরণটি হবে –

$x^{2}-\left ( 4+2 \right )x+\left ( 4\times 2 \right )=0$

∴ $x^{2}-6x+8=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}-6x+8=0}$

অন্যভাবে :

$x=4$ , $x=2$

বা, $\left ( x-4 \right )=0$ , $\left ( x-2 \right )=0$

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 4 ও 2, সেই সমীকরণটি হবে –

$\therefore \left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )=0$

বা, $x^{2}-4x-2x+8=0$

বা, $x^{2}-6x+8=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}-6x+8=0}$

(ii) − 4, − 3

সমাধানঃ

আমরা জানি, x চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ −4 ও −3, সেই সমীকরণটি হবে –

$x^{2}-\left \{ \left ( -4 \right )+\left ( -3 \right ) \right \}x+\left \{ \left ( -4 \right )\times \left ( -3 \right ) \right \}=0$

বা, $x^{2}-\left (-7 \right )x+12=0$

∴ $x^{2}+7x+12=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}+7x+12=0}$

অন্যভাবে :

$x=-4$ , $x=-3$

বা, $\left ( x+4 \right )=0$ , $\left ( x+3 \right )=0$

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ −4 ও −3, সেই সমীকরণটি হবে –

$\therefore \left ( x+4 \right )\left ( x+3 \right )=0$

বা, $x^{2}+4x+3x+12=0$

বা, $x^{2}+7x+12=0$

উত্তরঃনির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}+7x+12=0}$

(iii) − 4, 3

সমাধানঃ

আমরা জানি, x চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ −4 ও 3, সেই সমীকরণটি হবে –

$x^{2}-\left \{ \left ( -4 \right )+3 \right \}x+\left \{ \left ( -4 \right )\times 3 \right \}=0$

বা, $x^{2}-\left (-1 \right )x+\left (-12 \right )=0$

∴ $x^{2}+x-12=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}+x-12=0}$

অন্যভাবে :

$x=-4$ , $x=3$

বা, $\left ( x+4 \right )=0$ , $\left ( x-3 \right )=0$

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ −4 ও 3, সেই সমীকরণটি হবে –

$\therefore \left ( x+4 \right )\left ( x-3 \right )=0$

বা, $x^{2}+4x-3x-12=0$

বা, $x^{2}+x-12=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}+x-12=0}$

(iv) 5, − 3

সমাধানঃ

আমরা জানি, x চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 5 ও −3, সেই সমীকরণটি হবে –

$x^{2}-\left \{ 5+\left ( -3 \right ) \right \}x+\left \{ 5\times \left ( -3 \right ) \right \}=0$

বা, $x^{2}-2x+\left (-15 \right )=0$

∴ $x^{2}-2x-15=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}-2x-15=0}$

অন্যভাবে :

$x=5$ , $x=-3$

বা, $\left ( x-5 \right )=0$ , $\left ( x+3 \right )=0$

সুতরাং, যে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 5 ও −3, সেই সমীকরণটি হবে –

$\therefore \left ( x-5 \right )\left ( x+3 \right )=0$

বা, $x^{2}-5x+3x-15=0$

বা, $x^{2}-2x-15=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}-2x-15=0}$

Q4. m এর মান কত হলে, ${\color{DarkRed} 4{{x}^{2}}+4\left( 3m-1 \right)x+\left( m+7 \right)=0}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

সমাধানঃ

ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\frac{1}{\alpha }$

আমরা জানি,

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল =

সুতরাং, $\alpha \times \frac{1}{\alpha }=\frac{m+7}{4}$

বা, $1=\frac{m+7}{4}$

বা, $m+7=4$

বা, $m=4-7$

$\therefore m=-3$

উত্তরঃ নির্ণেয় m এর মান −3

Q5. ${\color{DarkRed} \left( b-c \right){{x}^{2}}+\left( c-a \right)x+\left( a-b \right)=0}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, ${\color{DarkRed} 2b=a+c}$

সমাধানঃ

$\left( b-c \right){{x}^{2}}+\left( c-a \right)x+\left( a-b \right)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $Ax^{2}+Bx+C=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$A=\left ( b-c \right ),B=\left ( c-a \right ),C=\left ( a-b \right )$

$\left( b-c \right){{x}^{2}}+\left( c-a \right)x+\left( a-b \right)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ।

অর্থাৎ, নিরূপক $\left ( B^{2}-4AC \right )=0$

বা, $\left ( c-a \right )^{2}-4\times \left ( b-c \right )\left ( a-b \right )=0$

বা, $c^{2}-2ac+a^{2}-4\left ( ab-b^{2}-ac+bc \right )=0$

বা, $c^{2}-2ac+a^{2}-4ab+4b^{2}+4ac-4bc=0$

বা, $c^{2}+2ac+a^{2}-4ab-4bc+4b^{2}=0$

বা, $\left ( c+a \right )^{2}-2\left ( a+c \right ).2b+\left ( 2b \right )^{2}=0$

বা, $\left ( c+a-2b \right )^{2}=0$

বা, $a+c-2b=0$

বা, $a+c=2b$

$\therefore 2b=a+c$ ( প্রমানিত )

Q6. ${\color{DarkRed} \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( ac+bd \right)x+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=0}$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, ${\color{DarkRed} \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$

সমাধানঃ

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( ac+bd \right)x+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $Ax^{2}+Bx+C=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$A=\left ( a^{2}+b^{2} \right ),B=2\left ( ac+bd \right ),C=\left ( c^{2}+d^{2} \right )$

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( ac+bd \right)x+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান ।

অর্থাৎ, নিরূপক $\left ( B^{2}-4AC \right )=0$

বা, $\left \{ 2\left ( ac+bd \right ) \right \}^{2}-4\times \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( c^{2}+d^{2} \right )=0$

বা, $4a^{2}c^{2}+8abcd+4b^{2}d^{2}-4a^{2}c^{2}-4a^{2}d^{2}-4b^{2}c^{2}-4b^{2}d^{2}=0$

বা, $8abcd-4a^{2}d^{2}-4b^{2}c^{2}=0$

বা, $-4\left ( a^{2}d^{2}-2\times ad\times bc+b^{2}c^{2} \right )=0$

বা, $\left ( a^{2}d^{2}-2\times ad\times bc+b^{2}c^{2} \right )=0$

বা, $\left ( ad-bc \right )^{2}=0$

বা, $ad-bc=0$

বা, $ad=bc$

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ( প্রমানিত )

Q7. প্রমান করি যে, ${\color{DarkRed} 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( a+b \right)x+1=0}$ দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a ≠ b হয়।

সমাধানঃ

$2\left ( a^{2}+b^{2} \right )x^{2}+2\left ( a+b \right )x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $Ax^{2}+Bx+C=0\: \: \: \left ( A\neq 0 \right )$ দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$A=2\left ( a^{2}+b^{2} \right );\; \; B=2\left ( a+b \right );\: \: C=1$

এখন, আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি

নিয়ামক বা নিরূপক, $B^{2}-4AC<0$ হয়।

এখন, উপরের অসমীকরণটিতে B, A ও C এর মান বসিয়ে পাই,

$\left \{ 2\left ( a+b \right ) \right \}^{2}-4\times 2\left ( a^{2}+b^{2} \right )\times 1<0$

$4\left ( a+b \right )^{2}-8\left ( a^{2}+b^{2} \right )<0$

$4\left ( a^{2}+2ab+b^{2} \right )-8a^{2}-8b^{2}<0$

$4a^{2}+8ab+4b^{2}-8a^{2}-8b^{2}<0$

$-4a^{2}+8ab-4b^{2}<0$

$-a^{2}+2ab-b^{2}<0$

$a^{2}-2ab+b^{2}>0$ [যদি, −x < −y হয়, তবে x > y হবে]

$\left ( a-b \right )^{2}>0$

$a-b>0$

$a>b$

অর্থাৎ, $a\neq b$ (প্রমানিত)

Q8. ${\color{DarkRed} 5{{x}^{2}}+2x-3=0}$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে, নিম্নলিখিত গুলির মান নির্ণয় করি।

(i) ${\color{DarkRed} {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}$

(ii) ${\color{DarkRed} {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}}$

(iii) ${\color{DarkRed} \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }}$

(iv) ${\color{DarkRed} \frac{{{\alpha }^{2}}}{\beta }+\frac{{{\beta }^{2}}}{\alpha }}$

সমাধানঃ

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=2,c=-3$

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}$

এবং,

$\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}$

$\therefore \alpha ^{2}+\beta ^{2}$

$=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta$

$=\left ( -\frac{2}{5} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{5} \right )$

$=\frac{4}{25}+\frac{6}{5}$

$=\frac{4+30}{25}$

$=\frac{34}{25}$ ( উত্তর )

(ii) ${{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}$

সমাধানঃ

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=2,c=-3$

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}$

এবং,

$\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}$

$\therefore {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}$

$=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )$

$=\left (-\frac{2}{5} \right )^{3}-3\times \left ( -\frac{3}{5} \right )\times \left ( -\frac{2}{5} \right )$

$=-\frac{8}{125}-\frac{18}{25}$

$=\frac{-8-90}{125}$

$=-\frac{98}{125}$ ( উত্তর )

(iii) $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$

সমাধানঃ

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=2,c=-3$

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}$

এবং,

$\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}$

$\therefore \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$

$=\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }$

$=\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}}$

$=\frac{2}{3}$ ( উত্তর )

(iv) $\frac{{{\alpha }^{2}}}{\beta }+\frac{{{\beta }^{2}}}{\alpha }$

সমাধানঃ

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=2,c=-3$

$5{{x}^{2}}+2x-3=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}$

এবং,

$\alpha \times \beta=\frac{c}{a} =-\frac{3}{5}$

$\therefore \frac{{{\alpha }^{2}}}{\beta }+\frac{{{\beta }^{2}}}{\alpha }$

= $\frac{\alpha ^{3}+\beta ^{3}}{\alpha \beta }$

$=\frac{\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }$

$=\frac{\left (- \frac{2}{5} \right )^{3}-3\times \left ( -\frac{3}{5} \right )\times \left ( -\frac{2}{5} \right )}{\left ( -\frac{3}{5} \right )}$

$=\frac{-\frac{8}{125}-\frac{18}{25}}{-\frac{3}{5}}$

$=\frac{-\frac{98}{125}}{-\frac{3}{5}}$

$=\left ( -\frac{98}{125} \right )\times \left ( -\frac{5}{3} \right )$

$=\frac{98}{75}$ ( উত্তর )

Q9. ${\color{DarkRed} a{{x}^{2}}+bx+c=0}$ সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুন হলে, দেখাই যে, ${\color{DarkRed} 2{{b}^{2}}=9ac}$

সমাধানঃ

$a{{x}^{2}}+bx+c=0$ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $Ax^{2}+Bx+C=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$A=a,B=b,C=c$

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণটির একটি বীজ $\alpha$ ও অপর বীজটি $2\alpha$

$\therefore \alpha +2\alpha =-\frac{B}{A}=-\frac{b}{a}$

$3\alpha =-\frac{b}{a}$

$\alpha =-\frac{b}{3a}$

আবার,

$\alpha \times 2\alpha =\frac{C}{A}=\frac{c}{a}$

বা, $2\alpha ^{2}=\frac{c}{a}$

বা, $2\left ( -\frac{b}{3a} \right )^{2}=\frac{c}{a}$

বা, $\frac{2b^{2}}{9a^{2}}=\frac{c}{a}$

বা, $2ab^{2}=9a^{2}c$

∴ $2b^{2}=9ac$ ( প্রমানিত )

Q10. যে সমীকরণের বীজগুলি ${\color{DarkRed} {{x}^{2}}+px+1=0}$ সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।

সমাধানঃ

${{x}^{2}}+px+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=p,c=1$

${{x}^{2}}+px+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{p}{1}=-p$ ও $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় $\frac{1}{\alpha }$ ও $\frac{1}{\beta }$

$\therefore \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }=\frac{-p}{1}=-p$

আবার,

$\frac{1}{\alpha }\times \frac{1}{\beta }=\frac{1}{\alpha \beta }=\frac{1}{1}=1$

∴ নতুন সমীকরণটি হবে

$x^{2}-\left ( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right )x+\left ( \frac{1}{\alpha }\times \frac{1}{\beta } \right )=0$

বা, $x^{2}-\left ( -p \right )x+1=0$

∴ $x^{2}+px+1=0$ ( উত্তর )

Q11. ${\color{DarkRed} {{x}^{2}}+x+1=0}$ সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

${{x}^{2}}+x+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=1,c=1$

${{x}^{2}}+x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$ ও $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha ^{2}$ ও $\beta ^{2}$

$\therefore \alpha ^{2}+\beta ^{2}$

$=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta$

$=\left ( -1 \right )^{2}-2\times 1$

$=1-2=-1$

∴ নতুন সমীকরণটি হবে

$x^{2}-\left ( \alpha ^{2}+\beta ^{2} \right )x+\alpha ^{2}\beta ^{2}=0$

বা, $x^{2}-\left ( -1 \right )x+\left ( 1 \right )^{2}=0$

∴ $x^{2}+x+1=0$ ( উত্তর )

Q12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বাহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) ${{x}^{2}}-6x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি

(a) 2

(b) − 2

(d) − 6

সমাধানঃ

ধরি, ${{x}^{2}}-6x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি, $\alpha +\beta =-\frac{\left (-6 \right )}{1}\Rightarrow 6$

উত্তরঃ (c) 6

(ii) ${{x}^{2}}-3x+k=10$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল − 2 হলে, k এর মান

(a) − 2

(b) − 8

(d) 12

সমাধানঃ

ধরি, ${{x}^{2}}-3x+k=10$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

প্রশ্নানুসারে,

$\alpha\times \beta =-2$

বা, $\frac{k}{1}=-2 {\color{Blue} \left [ \because \alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{k}{1} \right ]}$

$\therefore k=-2$

উত্তরঃ (a) − 2

(iii) $a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, ${{b}^{2}}-4ac$ হবে

(a) >0

(b) =0

(d) কোনোটিই নয়

সমাধানঃ

$a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে,

$b^{2}-4ac>0$ হবে।

উত্তরঃ(a) >0

(iv) $a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,

(a) $c=-\frac{b}{a}$

(v) $3{{x}^{2}}+8x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, $\left( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right)$ এর মান

(a) $-\frac{3}{8}$

(b) $\frac{2}{3}$

(d) 4

সমাধানঃ

$3{{x}^{2}}+8x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{8}{3}$ ও $\alpha \beta =\frac{2}{3}$

$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$

$=\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }$

$=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}$

$=\left ( -\frac{8}{3} \right )\times \frac{3}{2}$

$=-4$

উত্তরঃ (c) − 4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) ${{x}^{2}}+x+1=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

সমাধানঃ

${{x}^{2}}+x+1=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=1,c=1$

$b^{2}-4ac=\left ( 1 \right )^{2}-4\times 1\times 1=-3$

$\because b^{2}-4ac<0$

$\therefore {{x}^{2}}+x+1=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(ii) ${{x}^{2}}-x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

সমাধানঃ

${{x}^{2}}-x+2=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=-1,c=2$

$b^{2}-4ac=\left ( -1 \right )^{2}-4\times 1\times 2=1-8=-7<0$

$\because b^{2}-4ac<0$

$\therefore {{x}^{2}}-x+2=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য ।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) $7{{x}^{2}}-12x+18=0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত _______।

সমাধানঃ

$7x^{2}-12x+18=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=7,b=-12,c=18$

$7x^{2}-12x+18=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}$ ও $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{18}{7}$

$\left ( \alpha +\beta \right ):\alpha \beta =\frac{\alpha +\beta }{\alpha\beta }=\frac{\frac{12}{7}}{\frac{18}{7}}=\frac{12}{7}\times \frac{7}{18}=\frac{2}{3}=2:3$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} 2:3}$

(ii) $a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = _____.

সমাধানঃ

ধরি, $a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\frac{1}{\alpha }$

বীজদ্বয়ের গুনফল $=\frac{c}{a}$

বা, $\alpha \times \left ( \frac{1}{\alpha } \right )=\frac{c}{a}$

বা, $1=\frac{c}{a}$

$\therefore c=a$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} a}$

(iii) $a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্বক) হলে, a + c = _________।

সমাধানঃ

ধরি, $a{{x}^{2}}+bx+c=0\quad \left( a\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $-\frac{1}{\alpha }$

বীজদ্বয়ের গুনফল $=\frac{c}{a}$

বা, $\alpha \times \left ( -\frac{1}{\alpha } \right )=\frac{c}{a}$

বা, $-1=\frac{c}{a}$

বা, $c=-a$

$\therefore a+c=0$

উত্তরঃ ${\color{DarkGreen} 0}$

Q13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

সমাধানঃ

আমরা জানি, x চলসংখ্যা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² − (বীজ দুটির যোগফল)x + (বীজ দুটির গুনফল) = 0

∴ $x^{2}-14x+24=0$

উত্তরঃ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল ${\color{DarkGreen} x^{2}-14x+24=0}$

(ii) $k{{x}^{2}}+2x+3k=0\quad \left( k\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজ দ্বযের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k এর মান লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, $k{{x}^{2}}+2x+3k=0\quad \left( k\ne 0 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$kx^{2}+2x+3k=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=k,b=2,c=3k$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{k}$ ও $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{3k}{k}=3$

প্রশ্নানুসারে,

$\alpha +\beta =\alpha \beta$

বা, $-\frac{2}{k}=3$

$\therefore k=-\frac{2}{3}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} -\frac{2}{3}}$

(iii) ${{x}^{2}}-22x+105=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (α – β) এর মান লিখি।

সমাধানঃ
${{x}^{2}}-22x+105=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=-22,c=105$

দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{-22}{1}=22$ ও $\alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{105}{1}=105$

$\left ( \alpha -\beta \right )^{2}$

$=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-4\alpha \beta$

$=\left ( 22 \right )^{2}-4\times 105$

$=484-420$

$=64$

$\therefore \left ( \alpha -\beta \right )=\pm \sqrt{64}=\pm 8$

উত্তরঃ নির্ণেয় ${\color{DarkGreen} \left ( \alpha -\beta \right )}$ এর মান ${\color{DarkGreen} \pm 8}$ ।

(iv) ${{x}^{2}}-x=k\left( 2x-1 \right)$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k এর মান লিখি।

সমাধানঃ

${{x}^{2}}-x=k\left( 2x-1 \right)$

বা, $x^{2}-x=2kx-k$

বা, $x^{2}-x-2kx+k=0$

বা, $x^{2}-\left ( 2k+1 \right )x+k=0$

$x^{2}-\left ( 2k+1 \right )x+k=0$ সমীকরণটিকে $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=1,b=-\left ( 2k+1 \right ),c=k$

দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

$\alpha+\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{-\left ( 2k+1 \right )}{1}=2k+1$

প্রশ্নানুসারে,

$\alpha +\beta =0$

বা, $\left ( 2k+1 \right )=0$

বা, $2k=-1$

$\therefore k=-\frac{1}{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় k এর মান ${\color{DarkGreen} -\frac{1}{2}}$

(v) ${{x}^{2}}+bx+12=0$ এবং ${{x}^{2}}+bx+q=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q এর মান লিখি।

সমাধানঃ

${{x}^{2}}+bx+12=0$ সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$\left ( 2 \right )^{2}+2\times b+12=0$

বা, $2b+16=0$

বা, $2b=-16$

$\therefore b=-\frac{16}{2}=-8$

${{x}^{2}}+bx+q=0$ সমীকরণে $x=2$ ও $b=-8$ বসিয়ে পাই,

$\left ( 2 \right )^{2}+2\times \left ( -8 \right )+q=0$

বা, $4-16+q=0$

বা, $-12+q=0$

$\therefore q=12$

উত্তরঃ নির্ণেয় q এর মান 12 ।

error: Content is protected !!

Dighat somikoron koshe dekhi 1.5 madhyamik mathematics solution for wbbse

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫

Post a Comment

[**Latest] General Science for RRB NTPC & Group D Exam – PDF Free Download

Made with Love by

#buttons=(Accept !) #days=(20)

Contact form