Ayotoghono Koshe dekhi 4 class 10

উত্তরঃ আমাদের পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার বস্তুর নাম হলঃ বই, ইট (Brick), দেশলাই বাক্স, চৌবাচ্চা।

4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম হলঃ লুডোর ছক্কা (Dice), ঘর, বই, রুবিক্স কিউব (Rubix Cube)

Q2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি,ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।

উত্তরঃ

আয়তঘনাকার চিত্রটির তলগুলি হলঃ ABCD, EFGH, ABEH, BCGH, CDFG, ADFE

ধারগুলি হলঃ AB, BC, CD, AD, AE, EF, FD, FG, CG, GH, BH, EH

শীর্ষবিন্দুগুলি হলঃ A, B, C, D, E, F, G, H

Q3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য (l) = 5 মি.

প্রস্থ (b) = 4 মি.

উচ্চতা (h) = 3 মি.

ঘরটিতে সবচেয়ে লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য ঘরটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান।

আমরা জানি,

সমকোণী চৌপলাকার ঘরের কর্ণের দৈর্ঘ্য,

$=\sqrt{l^{2}+b^{2}+h^{2}}$

$=\sqrt{5^{2}+4^{2}+3^{2}}$

$=\sqrt{25+16+9}$

$=\sqrt{50}$

$=5\sqrt{2}$

উত্তরঃ সমকোণী চৌপলাকার ঘরটিতে সবচেয়ে লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য ${\color{DarkGreen} 5\sqrt{2}}$ মিটার ।

Q4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = 64 বর্গমিটার

∴ ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য $\left ( a \right )$ $=\sqrt{64}=8$ মিটার

∴ ঘনকটির আয়তন $=\left ( a \right )^{3}=\left ( 8 \right )^{3}=512$ ঘনমিটার।

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকের আয়তন 512 ঘনমিটার।

Q5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘনমিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, খালটি x মিটার লম্বা।

প্রদত্ত,

মাটি কাটা হয়েছে = 240 ঘনমিটার

খালটি = 2 মিটার চওড়া

খালটির গভীরতা

= 8 ডেসিমি

$=\frac{8}{10}$ মিটার

∴ মাটি কাটা হয়েছে

$=x\times 2\times \frac{8}{10}$ ঘনমিটার

$=\frac{8x}{5}$ ঘনমিটার

প্রশ্নানুসারে, $\frac{8x}{5}=240$

বা, $x=\frac{240\times 5}{8}$

বা, $x=30 \times 5$

$\therefore x=150$

উত্তরঃ নির্ণেয় খালটি 150 মিটার লম্বা ছিল।

Q6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.

প্রদত্ত,

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি.

আবার

আমরা জানি,

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=a\sqrt{3}$

বা, $4\sqrt{3}=a\sqrt{3}$

$\therefore a=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

$=6a^{2}=6\times \left ( 4 \right )^{2}=96$ বর্গসেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি.।

Q7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.

প্রদত্ত,

ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি.

ঘনকের মোট ধার সংখ্যা = 12 টি

প্রশ্নানুসারে,

$12\times a=60$

$\therefore a=\frac{60}{12}=5$

∴ ঘনকটির ঘনফল $=\left ( a \right )^{3}=\left ( 5 \right )^{3}=125$ ঘনসেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকটির ঘনফল 125 ঘনসেমি.।

Q8. যদি একটি ঘনকের 6 টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গসেমি হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.

প্রদত্ত,

ঘনকের 6 টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গসেমি.।

∴ ঘনকের প্রতিটি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$=\frac{216}{6}=36$ বর্গসেমি.।

∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{36}=6$ সেমি ।

∴ ঘনকটির আয়তন $=a^{3}=\left ( 6 \right )^{3}=216$ ঘনসেমি.।

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকটির আয়তন 216 ঘনসেমি.।

Q9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘনসেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিনত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য x সেমি।

432 ঘনসেমি. সমকোণী চৌপলকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিনত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের আয়তন হবে

$=\frac{432}{2}=216$ ঘনসেমি.

ঘনকের আয়তন $\left ( x^{3} \right )=216$ ঘনসেমি.

$x^{3}=6^{3}$

$\therefore x=6$

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

Q10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কি হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক।

∴ ঘনকের ঘনফল $=x^{3}$ ঘন একক।

ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলে পরিবর্তিত ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে

$=x-x\times \frac{50}{100}$ একক

$=x-\frac{x}{2}$ একক

$=\frac{x}{2}$ একক।

∴ পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল

$=\left ( \frac{x}{2} \right )^{3}=\frac{x^{3}}{8}$ ঘন একক।

মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত

$=x^{3}:\frac{x^{3}}{8}$

$=1:\frac{1}{8}$

$=1\times 8:\frac{1}{8}\times 8$

$=8:1$

উত্তরঃ নির্ণেয় মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8:1

Q11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য (l) = 3x সেমি , প্রস্থ (b) = 2x সেমি ও উচ্চতা (h) = x সেমি।

∴ উহার আয়তন

$=3x\times 2x\times x=6x^{3}$ ঘনসেমি.

প্রশ্নানুযায়ী,

$6x^{3}=384$

বা, $x^{3}=\frac{384}{6}=64$

বা, $x^{3}=\left ( 4 \right )^{3}$

$\therefore x=4$

∴ দৈর্ঘ্য (l) = 3x = 3×4=12 সেমি , প্রস্থ (b) = 2x =2×4 =8 সেমি ও উচ্চতা (h) = x =4 সেমি।

∴ বাক্সটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

$=2\left ( lb+bh+lh \right )$ বর্গ সেমি.

$=2\left ( 12\times 8+8\times 4+12\times 4 \right )$ বর্গ সেমি.

$=2\left ( 96+32+48 \right )$ বর্গ সেমি.

$=2\times 176=352$ বর্গ সেমি.

উত্তরঃ নির্ণেয় বাক্সটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি।

Q12. একটি চা-এর বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

চা-এর বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি।

চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম =52.350 কিগ্রা।

খালি বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা।

∴ চা-এর বাক্সের আয়তন

$=7.5\times 6\times 5.4=243$ ঘন ডেসিমি।

বাক্সটির ওজন বাদ দিয়ে শুধুমাত্র 243 ঘন ডেসিমি চা এর ওজন

$=\left ( 52.350-3.75 \right )$ কিগ্রা

$=48.6$ কিগ্রা।

∴ 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন

$=\frac{48.6}{243}$ কিগ্রা

= 0.2 কিগ্রা

= 0.2 × 1000 গ্রাম

= 200 গ্রাম।

উত্তরঃ নির্ণেয় 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম হবে।

Q13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য $x$ সেমি., বেধ 1 মিলিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘনসেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয় তাহলে $x$ -এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য $x$ সেমি.,

বেধ 1 মিলিমি. $=\frac{1}{10}$ সেমি

প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম

এবং 1 ঘনসেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম।

∴ প্লেটটির আয়তন

$=x\times x\times \frac{1}{10}=\frac{x^{2}}{10}$ ঘন সেমি।

∴ $\frac{x^{2}}{10}$ ঘন সেমি. পিতলের ওজন

$=8.4\times \frac{x^{2}}{10}=\frac{84x^{2}}{100}$ গ্রাম।

প্রশ্নানুসারে,

$\frac{84x^{2}}{100}=4725$

বা, $x^{2}=4725\times \frac{100}{84}$

বা, $x^{2}=5625$

বা, $x^{2}=\left ( 75 \right )^{2}$

$\therefore x=75$

উত্তরঃ নির্ণেয় x -এর মান 75

Q14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দুপাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং ৪ মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

প্রতিটি গর্তের গভীরতা h মিটার।

প্রদত্ত,

প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং ৪ মি.

রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লাগে।

∴ গর্তের আয়তন

$=14\times 8\times h=112h$ ঘন মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

$112h\times 30=2520$

$\therefore h=\frac{2520}{112\times 30}=0.75$ মিটার = 75 সেমি।

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রতিটি গর্তের গভীরতা 75 সেমি।

Q15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটিতে জল ধরে 1 অংশ এবং প্রতিটি বালতিতে জল ধরে x লিটার।

প্রদত্ত,

চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য

= 1.2 মিটার

= 1.2×10

=12 ডেসিমি।

∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন

$=\left ( 12 \right )^{3}=1728$ ঘন ডেসিমি

= 1728 লিটার। [ ${\color{DarkBlue} \because }$ 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার ]

অর্থাৎ, সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটিতে জল ধরে 1728 লিটার।

$\because$ 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে

$\therefore$ চৌবাচ্চা থেকে মোট জল তোলা হয়

$=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ অংশ।

প্রশ্নানুসারে,

$64\times x=1728\times \frac{2}{3}$

বা, $x=\frac{1728\times 2}{64\times 3}$

$\therefore x=18$

উত্তরঃ নির্ণেয় প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

Q16. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি., 1.5 ডেসিমি. ও 0.9 ডেসিমি. হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [এক গ্রোস = 12 ডজন] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3.5 সেমি. হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের

দৈর্ঘ্য (L) = 2.8 ডেসিমি. = 28 সেমি

প্রস্থ (B) = 1.5 ডেসিমি.= 15 সেমি

ও উচ্চতা (H) = 0.9 ডেসিমি. = 9 সেমি।

∴ দেশলাই বাক্সের প্যাকেটের আয়তন

$\fn_jvn =LBH$

$\fn_jvn =28\times 15\times 9$

$\fn_jvn =3780$ ঘন সেমি।

∴ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন

$\fn_jvn =\frac{3780}{12\times 12}$ [ $\fn_jvn {\color{DarkBlue} \because }$ 1 গ্রোস = 12 ডজন = 12× 12 টি ]

$\fn_jvn =26.25$ ঘন সেমি।

ধরি,

একটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা h সেমি।

প্রদত্ত,

দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য (l) = 5 সেমি. এবং প্রস্থ (b) = 3.5 সেমি.

$\fn_jvn \therefore lbh=26.25$

বা, $\fn_jvn 5\times 3.5\times h=26.25$

বা, $\fn_jvn h=\frac{26.25}{5\times 3.5}=\frac{2625\times 10}{5\times 35\times 100}$

$\fn_jvn \therefore h=\frac{3}{2}=1.5$

উত্তরঃ নির্ণেয় একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন 26.25 ঘনসেমি এবং দেশলাই বাক্সের উচ্চতা 1.5 সেমি ।

Q17. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনকাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

আয়তঘনকাকার চৌবাচ্চায় জলের গভীরতা h ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।

প্রদত্ত,

চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য (l) = 2.1 মিটার = 21 ডেসিমি. এবং

প্রস্থ (b) = 1.5 মিটার = 15 ডেসিমি.

630 লিটার = 630 ঘন ডেসিমি। [ $\fn_jvn {\color{DarkBlue} \because}$ 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার ]

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn lbh=630$

বা, $\fn_jvn 21\times 15\times h=630$

বা, $\fn_jvn h=\frac{630}{21\times 15}$

$\fn_jvn \therefore h=2$

উত্তরঃ নির্ণেয় আয়তঘনকাকার চৌবাচ্চায় জলের গভীরতা 2 ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।

Q18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোনে পিলার বসানোর জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির ওপর ছড়িয়ে দেওয়া হল। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

মাঠের তলের উচ্চতা h মিটার বৃদ্ধি পাবে।

প্রদত্ত,

আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = 20 মিটার ও প্রস্থ = 15 মিটার।

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল $\fn_jvn =20\times 15=300$ বর্গ মিটার।

4 টি পিলার বসানোর জন্য ব্যবহৃত জমির ক্ষেত্রফল

$\fn_jvn =4\times \left ( 4 \right )^{2}=64$ বর্গ মিটার।

অবশিষ্ট জমির ক্ষেত্রফল

$\fn_jvn =\left ( 300-64 \right )$ বর্গ মিটার

$\fn_jvn =236$ বর্গ মিটার।

4 টি পিলার বসানোর জন্য অপসারিত মাটির আয়তন

$\fn_jvn =4\times \left ( 4 \right )^{3}$ ঘন মিটার

$\fn_jvn =256$ ঘন মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn 236\times h=256$

বা, $\fn_jvn h=\frac{256}{236}$

$\fn_jvn \therefore h=1\frac{5}{59}$

উত্তরঃ নির্ণেয় মাঠের তলের উচ্চতা $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 1\frac{5}{59}}$ মিটার বৃদ্ধি পাবে।

Q19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখন্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

নীচু জমির দৈর্ঘ্য = 48 মিটার,

প্রস্থ = 31.5 মিটার

উচ্চতা = 6.5 ডেসিমি.

$\fn_jvn =\frac{6.5}{10}=0.65$ মিটার।

∴ আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা

$\fn_jvn =48\times 31.5\times 0.65$ ঘন মিটার।

গর্ত খোঁড়া জমির দৈর্ঘ্য = 27 মিটার

এবং প্রস্থ = 18.2 মিটার।

ধরি, গর্তটি h মিটার গভীর করতে হবে।

∴ তোলা মাটির পরিমান

$\fn_jvn =27\times 18.2\times h$ ঘন মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn 27\times 18.2\times h=48\times 31.5\times 0.65$

বা, $\fn_jvn h=\frac{48\times 31.5\times 0.65}{27\times 18.2}$

$\fn_jvn \therefore h=2$

উত্তরঃ নির্ণেয় গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।

Q20. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হল এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি. হল। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো, তবে 1620 লিটার তেল ঐ পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে দেখি।

সমাধানঃ

তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে মোট তেলের পরিমান

$\fn_phv =800+725+575=2100$ লিটার।

ধরি,

আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য 4a ডেসিমি. ও প্রস্থ 3a ডেসিমি.।

পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি.।

আয়তঘনাকার পাত্রে তেলের পরিমান

$\fn_phv =4a\times 3a\times 7=84a^{2}$ ঘন ডেসিমি

$\fn_phv =84a^{2}$ লিটার। [ $\fn_jvn {\color{Blue} \because }$ 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার ]

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn 84a^{2}=2100$

বা, $\fn_jvn a^{2}=\frac{2100}{84}=25$

বা, $\fn_jvn a^{2}=5^{2}$

$\fn_jvn \therefore a=5$

আয়তঘনাকার পাত্রের

দৈর্ঘ্য $\fn_jvn =4a$ ডেসিমি. $\fn_jvn =4\times 5=20$ ডেসিমি

ও প্রস্থ $\fn_jvn =3a$ ডেসিমি. $\fn_jvn =3\times 5=15$ ডেসিমি।

উত্তরঃ নির্ণেয় আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 20}$ ডেসিমি ও প্রস্থ $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 15}$ ডেসিমি।

আবার,

যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো,

তবে পাত্রটির আয়তন হতো $\fn_jvn =20\times 15\times 5=1500$ ঘন ডেসিমি $\fn_jvn =1500$ লিটার।

যেহেতু $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 1500}$ লিটার পাত্রে সর্বাধিক $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 1500}$ লিটার তেল ধরা সম্ভব তাই $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 1620}$ লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা সম্ভব না।

Q21. আমাদের তিনতলা ফ্লাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানোর পরও চাহিদার 25% জল মজুদ থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মি. দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি। জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হত, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হতো, তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

তিনটি পরিবারের দৈনিক মোট জলের চাহিদা

$\fn_jvn =1200+1050+950=3200$ লিটার।

চাহিদা মেটানোর পর জল মজুদ থাকে

$\fn_jvn =3200\times 25%$ লিটার

$\fn_jvn =3200\times \frac{25}{100}=800$ লিটার।

$\fn_jvn \therefore$ ট্যাঙ্কটিতে মোট জল ধরে

$\fn_jvn =\left ( 3200+800 \right )$ লিটার

$\fn_jvn =4000$ লিটার।

ধরি,

ট্যাঙ্কটিকে d মিটার গভীর করতে হবে।

প্রদত্ত,

ট্যাঙ্কটির দৈর্ঘ্য $\fn_jvn =2.5$ মিটার $\fn_jvn =25$ ডেসিমি. , প্রস্থ $\fn_jvn =1.6$ মিটার $\fn_jvn =16$ ডেসিমি. এবং গভীরতা $\fn_jvn =d$ মিটার $\fn_jvn =10d$ ডেসিমি.।

প্রশ্নানুযায়ী,

$\fn_jvn 25\times 16\times 10d=4000$

বা, $\fn_jvn d=\frac{4000}{25\times 16\times 10}$

$\fn_jvn \therefore d=1$

উত্তরঃ নির্ণেয় ট্যাঙ্কটিকে 1 মিটার গভীর করতে হবে।

জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হত, তবে প্রস্থ হতো $\fn_jvn =\left ( 16+4 \right )$ ডেসিমি. $\fn_jvn =20$ ডেসিমি.।

ধরি, ট্যাঙ্কটি এবার h মিটার গভীর করতে হতো।

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn 25\times 20\times 10h=4000$

বা, $\fn_jvn h=\frac{4000}{25\times 20\times 10}$

$\fn_jvn \therefore h=\frac{4}{5}=0.8$

উত্তরঃ নির্ণেয় ট্যাঙ্কটিকে এবার $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 0.8}$ মিটার গভীর করতে হতো।

Q22. 5 সেমি. পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. এবং 8.5 ডেসিমি. এবং এক ঘন ডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

প্রথম অংশ :

প্রদত্ত,

কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা,

চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা।

∴ শুধু চালের ওজন

$\fn_jvn =\left ( 880.5-115.5 \right )$ কিগ্রা

$\fn_jvn =765$ কিগ্রা।

1.5 কিগ্রা চালের আয়তন $\fn_jvn =1$ ঘন ডেসিমি।

$\fn_jvn 1$ কিগ্রা চালের আয়তন $\fn_jvn =\frac{1}{1.5}$ ঘন ডেসিমি।

$\fn_jvn \therefore 765$ কিগ্রা চালের আয়তন $\fn_jvn =\frac{765}{1.5}=\frac{765\times 10}{15}=510$ ঘন ডেসিমি.

ধরি, বাক্সটির ভিতরের দিকের উচ্চতা $\fn_jvn h$ ডেসিমি.

প্রদত্ত, বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. এবং 8.5 ডেসিমি.

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn 12\times 8.5\times h=510$

বা, $\fn_jvn h=\frac{510}{12\times 8.5}$

$\fn_jvn \therefore h=\frac{510\times 10}{12\times 85}=5$

সুতরাং, নির্ণেয় বাক্সটির উচ্চতা 5 ডেসিমি.

দ্বিতীয় অংশ :

যেহেতু বাক্সটি 5 সেমি. অর্থাৎ, 0.5 ডেসিমি. পুরু।

সুতরাং, বাক্সটির বাইরের দিকের পরিমাপ হলো নিম্নরূপ :

দৈর্ঘ্য (l) = [12 + (2×0.5)] অর্থাৎ, 13 ডেসিমি.

প্রস্থ (b) = [8.5 + (2×0.5)] অর্থাৎ, 9.5 ডেসিমি.

উচ্চতা (h) = [5 + (2×0.5)] অর্থাৎ, 6 ডেসিমি.

∴ বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(l×b + b×h + h×l)

= 2(13×9.5 + 9.5×6 + 6×13) বর্গ ডেসিমি.

= 2(123.5 + 57 + 78) বর্গ ডেসিমি.

= 2×258.5 বর্গ ডেসিমি.

= 517 বর্গ ডেসিমি.

এখন, প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে মোট খরচ পড়বে = Rs. 1.5 × 517 অর্থাৎ, Rs. 775.50

উত্তরঃ নির্ণেয় বাক্সটির উচ্চতা 5 ডেসিমি. এবং বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে মোট খরচ পড়বে 775.50 টাকা।

Q23. 20 মি. দীর্ঘ এবং 18.5 মি. চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মি. গভীর জল আছে। ঘন্টায় 160 কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে এমন একটি পাম্প দিয়ে কতক্ষণে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে হিসাব করে লিখি। ওই জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ধান ক্ষেতে ফেলা হয়, তবে সেই জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি । [1 ঘন মিটার = 1 কিলোলিটার]

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

পুকুরের দৈর্ঘ্য $\fn_jvn =20$ মিটার,

প্রস্থ $\fn_jvn =18.5$ মিটার,

ও জলের উচ্চতা $\fn_jvn =3.2$ মিটার।

∴ পুকুরে মোট জলের পরিমান

$\fn_jvn =\left ( 20\times 18.5\times 3.2 \right )$ ঘন মিটার

$\fn_jvn =1184$ ঘন মিটার

$\fn_jvn =1184$ কিলোলিটার। [ $\fn_jvn {\color{Blue} \because }$ $\fn_jvn {\color{Blue} 1}$ ঘন মিটার $\fn_jvn {\color{Blue} =1}$ কিলো লিটার ]

পাম্পটি $\fn_jvn 160$ কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে $\fn_jvn 1$ ঘন্টায়।

$\fn_jvn 1$ কিলোলিটার জলসেচ করবে $\fn_jvn =\frac{1}{160}$ ঘন্টায়।

$\fn_jvn \therefore$ $\fn_jvn 1184$ কিলোলিটার জলসেচ করবে $\fn_jvn =\frac{1184}{160}=\frac{37}{5}$ ঘন্টায়

$\fn_jvn =7\frac{2}{5}$ ঘন্টা

$\fn_jvn =\left (7+\frac{2}{5} \right )$ ঘন্টা

$\fn_jvn =7$ ঘন্টা $\fn_jvn \left (\frac{2}{5}\times 60 \right )$ মিনিট

$\fn_jvn =7$ ঘন্টা $\fn_jvn 24$ মিনিট।

ধরি, ধান ক্ষেতের জমিতে জলের গভীরতা h মিটার।

ধান ক্ষেতের দৈর্ঘ্য $\fn_jvn =59.2$ মিটার,

প্রস্থ $\fn_jvn =40$ মিটার,

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn 59.2\times 40\times h=1184$

বা, $\fn_jvn h=\frac{1184}{59.2\times 40}$

বা, $\fn_jvn h=\frac{1184\times 10}{592\times 40}$

$\fn_jvn \therefore h=\frac{1}{2}=0.5$

উত্তরঃ নির্ণেয় পাম্পটি দিয়ে $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 7}$ ঘন্টা $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 24}$ মিনিটে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে এবং ধান ক্ষেতের জমিতে জলের গভীরতা $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 0.5}$ মিটার।

Q24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) একটি সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.। বাক্সর্টির ভিতরের উচ্চতা

(a) 4 সেমি.

(b) 5 সেমি.

(d) 6 সেমি.

সমাধানঃ

ধরি,

বাক্সর্টির ভিতরের উচ্চতা h সেমি।

প্রদত্ত,

সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি.

এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.।

আমরা জানি,

সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের আয়তন = ভূমিতলের ক্ষেত্রফল × উচ্চতা

অর্থাৎ,

$\fn_jvn 440=88\times h$

বা, $\fn_jvn h=\frac{440}{88}$

$\fn_jvn \therefore h=5$

উত্তরঃ নির্ণেয় বাক্সর্টির ভিতরের উচ্চতা 5 সেমি।

Q24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈর্ঘ্য, 4 মি. প্রস্থ এবং 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে

(a) 190 টি

(b) 192 টি

(d) 180 টি

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.।

∴ গর্তের আয়তন

$\fn_jvn =40\times 12\times 16$ ঘন মিটার।

তক্তার দৈর্ঘ্য 5 মি. , প্রস্থ 4 মি. এবং পুরু 2 মি.

∴ তক্তার আয়তন

$\fn_jvn =4\times 5\times 2$ ঘন মিটার।

∴ ওই গর্তের ভিতর তক্তা রাখা যাবে $\fn_jvn =\frac{40\times 12\times 16}{4\times 5\times 2}=192$ টি।

উত্তরঃ নির্ণেয় তক্তা সংখ্যা 192 টি।

Q24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন

(a) 64 ঘন মি.

(b) 216 ঘন মি.

(d) 512 ঘন মি.
[ উত্তর সংকেত : পার্শ্বতলের সংখ্যা 4 ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার।

∴ প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল

$\fn_jvn =\frac{256}{4}=64$ বর্গ মিটার। [ $\fn_jvn {\color{DarkBlue} \because }$ পার্শ্বতলের সংখ্যা 4 ]

∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য $\fn_jvn =\sqrt{64}=8$ মিটার।

∴ ঘনকটির আয়তন $\fn_jvn =\left ( 8 \right )^{3}=512$ ঘন মিটার।

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকটির আয়তন 512 ঘন মিটার।

Q24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

(a) 1 : 3

(b) 1 : 8

(d) 1 : 18

সমাধানঃ

ধরি,

ঘনক দুটির বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, a একক ও b একক।

প্রশ্নানুসারে,

$\fn_jvn a^{3}:b^{3}=1:27$

বা, $\fn_jvn \frac{a^{3}}{b^{3}}=\frac{1}{27}$

বা, $\fn_jvn \left ( \frac{a}{b} \right )^{3}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}$

বা, $\fn_jvn \frac{a}{b}=\frac{1}{3}$

$\fn_jvn \therefore b=3a$

ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$\fn_jvn =6a^{2}:6b^{2}$

$\fn_jvn =a^{2}:b^{2}$

$\fn_jvn =a^{2}:\left ( 3a \right )^{2}$ [ $\fn_jvn {\color{DarkBlue} \because }$ b = 3a ]

$\fn_jvn =a^{2}:9a^{2}$

$\fn_jvn =1:9$

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:9

Q24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল s বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে, s এবং d এর সম্পর্ক

(a) $s=6d^{2}$

(b) $3s=7d$

(d) $d^{2}=\frac{s}{2}$

সমাধানঃ

ধরি,

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।

∴ ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

$\fn_jvn s=6a^{2}$

বা, $\fn_jvn a^{2}=\frac{s}{6}$ ……(i)

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য

$\fn_jvn d=a\sqrt{3}$

বা, $\fn_jvn a=\frac{d}{\sqrt{3}}$

বা, $\fn_jvn a^{2}=\frac{d^{2}}{3}$

বা, $\fn_jvn \frac{s}{6}=\frac{d^{2}}{3}$ [ (i) নং সমীকরণ থেকে $\fn_jvn {\color{Blue} a^{2}}$ এর মান বসিয়ে পাই ]

বা, $\fn_jvn \frac{s}{2}=d^{2}$

$\fn_jvn \therefore s=2d^{2}$

উত্তরঃ নির্ণেয় s এবং d এর সম্পর্ক $\fn_jvn {\color{DarkGreen} s=2d^{2}}$ .

(B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুন হবে।

সমাধানঃ

ধরি,

পূর্বে ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য ছিল $\fn_jvn =a$ একক।

∴ পূর্বে ঘনকটির আয়তন ছিল $\fn_jvn =a^{3}$ ঘন একক।

বর্তমানে ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য $\fn_jvn =2\times a=2a$ একক।

∴ এখন আয়তন হবে

$\fn_jvn =\left ( 2a \right )^{3}=8a^{3}$ ঘন একক।

$\fn_jvn =8\times$ পূর্বের ঘনকের আয়তন।

∴ ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 8 গুন হবে।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. উচ্চতার হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘন মিটার।
[ উত্তর সংকেত : 1 আর = 100 বর্গ মি, 1 হেক্টর = 100 আর ]

সমাধানঃ

1 হেক্টর = 100 আর

∴ 2 হেক্টর = 200 আর = 200 × 100 বর্গ মি.

5 সেমি. = 0.05 মিটার।

∴ বৃষ্টির জলের আয়তন

= 200 × 100 × 0.05 ঘন মিটার

= 1000 ঘন মিটার।

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা _________ টি।

উত্তরঃ 4 টি।

(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ______ × একটি ধারের দৈর্ঘ্য।

উত্তরঃ $\fn_jvn {\color{DarkGreen} \sqrt{2}}$

(iii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম _______।

উত্তরঃ ঘনক।

Q25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(i) একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা = x, ধার সংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের সংখ্যা = p হলে, x – y + z + p এর মান কত তা লিখি।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

আয়তঘনের তল সংখ্যা (x) = 6, ধার সংখ্যা (y) = 12, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা (z) = 8 এবং কর্ণের সংখ্যা (p) = 4

∴ x – y + z + p

= 6 − 12 + 8 + 4

= 6

উত্তরঃ নির্ণেয় x – y + z + p এর মান 6

Q25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(ii) দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং 8, (2h – 1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তাহলে h এর মান কত তা লিখি।

সমাধানঃ

প্রথম আয়তঘনকের আয়তন

$\fn_jvn =4\times 6\times 4=96$ ঘন একক ।

দ্বিতীয় আয়তঘনকের আয়তন

$\fn_jvn =8\times \left ( 2h-1 \right )\times 2=32h-16$ ঘন একক ।

প্রশ্নানুসারে,

প্রথম আয়তঘনকের আয়তন = দ্বিতীয় আয়তঘনকের আয়তন

বা, $\fn_jvn 96=32h-16$

বা, $\fn_jvn 96+16=32h$

বা, $\fn_jvn 112=32h$

$\fn_jvn \therefore h=\frac{112}{32}=3.5$

উত্তরঃ নির্ণেয় h এর মান $\fn_jvn {\color{DarkGreen} 3.5}$

Q25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iii) একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকর্টির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

ধরি,

পূর্বে ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য ছিল a একক।

∴ ঘনকর্টির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ছিল

$\fn_jvn =6a^{2}$ বর্গ একক।

বর্তমানে ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য

$\fn_jvn =a+a\times \frac{50}{100}=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$ একক।

∴ বর্তমানে ঘনকর্টির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

$\fn_jvn =6\times \left ( \frac{3a}{2} \right )^{2}=\frac{27a^{2}}{2}$ বর্গ একক।

ঘনকর্টির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে

$\fn_jvn =\left ( \frac{27a^{2}}{2}-6a^{2} \right )=\frac{27a^{2}-12a^{2}}{2}=\frac{15a^{2}}{2}$ বর্গ একক।

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধির হার

$\fn_jvn =\frac{\frac{15a^{2}}{2}}{6a^{2}}\times 100=\frac{15a^{2}\times 100}{2\times 6a^{2}}=125%$

উত্তরঃ নির্ণেয় ঘনকর্টির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা 125 ভাগ বৃদ্ধি পাবে।

Q25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :

(iv) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি., 4 সেমি. এবং 5 সেমি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত,

প্রথম ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 3 সেমি.

∴ প্রথম ঘনকের আয়তন

$\fn_jvn =3^{3}=27$ ঘন সেমি.